轴向拉（压）杆横截面应力优化方案

只根据轴力并不能判断杆件是否有足够的强度。例如用同一材料制成粗细不同的两根杆在相同的拉力下，两杆的轴力自然是相同的。但当拉力逐渐增大时，细杆必定先被拉断。这说明拉杆的强度不仅与轴力的大小有关，而且与横截面面积有关。所以还必须研究横截面上的应力。

由于轴力FN垂直于横截面，故在横截面上应存在正应力σ。根据连续性假设横截面上应到处都存在着内力。若以A表示横截面面积，则微分面积d A上的内力元素σd A组成一个垂直于横截面的平行力系，其合力就是轴力FN。于是得静力关系为

仅由式（3.2）还不能确定应力σ，还须知道σ在横截面上的分布规律。因此，必须通过实验，从观察拉杆的变形入手来研究。

图3.2

如图3.2（a）所示的等直杆，拉伸变形前，在其侧面上作垂直于杆轴的直线ab和cd，然后在杆的两端施加轴向拉力F，使杆发生轴向拉伸。变形后可以观察到ab和cd仍为直线，且仍然垂直于杆轴线，只是分别平行地移至a＇b＇和c＇d＇，如图3.2（b）虚线所示。根据表面观察到的变形现象，可以假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于杆轴线，这个假设称为平面假设。根据平面假设，拉杆变形后两横截面作相对平移，则任意两个横截面间所有纵向纤维的伸长量相等，即伸长变形是均匀的。

由于假设材料是均匀的（均匀性假设），即各纵向纤维力学性质相同，可以推知各纵向纤维受力是相同的。所以横截面上各点处的正应力σ都相等，即正应力均匀分布于横截面上[图3.2（c）、（d）]，σ为常量。于是由式（3.2）得

则

式中：FN为轴力；A为杆的横截面面积。

式（3.3）就是拉杆横截面上正应力σ的计算公式。当FN为压力时，它同样可用于压应力的计算。正应力的正负号和轴力FN的正负号规定一样。通常规定拉应力为正，压应力为负。

使用式（3.3）时，要求外力的合力作用线与杆轴线重合。若轴力沿轴线变化，可先作出轴力图，再由式（3.3）求出不同横截面下的应力。当截面的尺寸也沿轴线变化时（图3.3），只要变化缓慢，外力合力与轴线重合，式（3.3）仍可使用。这时把它写成

式中：σ（x）、FN（x）、A（x）表示这些量都是横截面位置（坐标x）的函数。

应该指出，式（3.3）只有在杆上离外力作用点稍远处才成立，在外力作用点附近区域内的应力分布比较复杂。这是因为在杆端截面上外力作用方式不同，对截面上的应力有影响。例如在杆端以均匀分布的方式加载[图3.4（a）]，式（3.3）对任何截面都适用；若采用集中力或其他非均匀的加载方式时[图3.4（b）、（c）]，虽然外力合力的作用线仍与杆轴重合，但在外力作用点附近区域的应力分布较复杂，式（3.3）不再适用。实验研究表明：力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响，这就是圣维南（Saint－Venant）原理。根据这一原理，在离外力作用区域稍远处，上述影响就非常微小，可以忽略不计，直接按式（3.3）计算拉（压）杆横截面上的应力。

图3.3

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图3.4

图3.5

【例3.1】 一横截面为正方形的砖柱分上、下两段，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图3.5（a）所示。已知F＝50k N，试求荷载引起的最大工作应力。

解：首先作柱的轴力图，如图3.5（b）所示。

由于砖柱为变截面杆，故须利用式（3.3）求出每段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。

Ⅰ、Ⅱ两段柱横截面上的正应力，分别由轴力图及横截面尺寸求得：

由上述结果可见，砖柱的最大工作应力在柱的下段，其值为1.1MPa，是压应力。

【例3.2】 长为b、内径d＝200mm、壁厚δ＝5mm的薄壁圆环，承受p＝2MPa的内压力作用，如图3.6（a）所示。试求圆环径向截面上的拉应力。

图3.6

解：薄壁圆环在内压力作用下要均匀胀大，故在包含圆环轴线的任何径向截面上，作用有相同的法向拉力FN。为求该拉力，可假想地用一直径平面将圆环截分为二，并研究留下的半环[图3.6（b）]的平衡。半环上的内压力沿y方向的合力为

其作用线与y轴重合。

因壁厚远小于内径d，故可近似地认为在环的每一个横截面m—m或n—n上各点处的正应力相等（如果δ≤d/20，这种近似足够精确）。又由对称关系可知，此两横截面上的正应力必组成数值相等的合力FN。由平衡方程∑Fy＝0，求得

于是横截面上的正应力σ为