利用微积分关系绘制梁的剪力图和弯矩图

从高等数学可知，一阶导数的几何意义是曲线的切线斜率，所以剪力图上某点处的切线斜率等于该点处的分布荷载集度的数值；弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处的剪力的数值。此外，二阶导数的正、负可用来判断曲线的凸凹方向。

根据上述微分关系，若已知某段梁上的荷载分布情况，即可知其内力方程的形式及内力图的基本形状。现将弯矩、剪力与荷载间的关系及剪力图和弯矩图的一些基本特征归纳整理为表2.1，以备作图时查用。

表2.1　荷载、内力方程及内力图的关系

1.端点

在靠近端点的截面上，剪力值等于端点处的集中力数值，无集中力则剪力为零，端点的弯矩值等于端点处的集中力偶矩的数值，无集中力偶则弯矩为零。

2.集中力作用点

在靠近集中力作用点的两侧截面，剪力图有突变，突变跳跃值等于集中力的数值。在集中力作用点，弯矩图连续但不光滑，呈转折点。

图2.34

3.集中力偶作用点

在靠近集中力偶作用点的两侧截面上弯矩图有突变，突变跳跃值等于集中力偶矩的数值。在集中力偶作用点，剪力图光滑连续。

4.均布荷载的端点

在均布荷载的端点，剪力图连续但不光滑；弯矩图光滑连续。

在确定了特殊点内力值之后，根据微分关系从表2.1所示的荷载—图形关系可直接绘出梁的内力图。除特殊情况外，一般无需再写出内力力程。

【例2.12】 图2.34（a）所示右端外伸梁，在外伸端作用一集中力F，试利用微分关系直接作出梁的内力图。

解：一般情况下都必须首先求支座反力。

由平衡方程：

∑MB（F）＝0

Fa＋FA l＝0

和

∑MA（F）＝0

FB l－F（l＋a）＝0

解得

FA＝－F（a/l）

FB＝F＋F（a/l）

AB段内无荷载，剪力图为水平线，即各截面的剪力均等于FA，A端右侧截面的剪力为FA，BC段内也无荷载，剪力图也为水平线，各截面的剪力值均等于F，C端左侧截面的剪力为F，据此可作出梁的剪力图[图2.34（b）]；B截面左右两侧剪力的差等于FB。

由于两段的剪力图均为水平线，所以两段的弯矩图为斜直线。两端点处无集中力偶，弯矩为零，B点的弯矩为－Fa，用两条斜直线连接三个点便得弯矩图[图2.34（c）]。

【例2.13】 图2.35（a）所示简支梁，两个相等的集中力F对称作用，试利用微分关系作梁的内力图。

解：由对称性和平衡条件，可知支座反力为

FA＝FB＝F

AC段内无荷载，剪力图为水平线，各截面的剪力均等于A端右侧截面的剪力FA；CD段内无荷载，剪力图为水平线，C点右侧截面的剪力为零，所以各截面的剪力均为零；DB段的剪力图应与AC段的剪力图反对称；据此可作梁的剪力图[图2.35（b）]。

A点无集中力偶，弯矩为零，AC段的弯矩图为正斜率斜直线，C点的弯矩为Fa；CD段的剪力为零，则弯矩图为水平线，各截面的弯矩均为Fa；DB段的弯距图应与AC段的弯矩图对称；据此可作梁的弯矩图，如图2.35（c）所示。

图2.35

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图2.36

【例2.14】 图2.36（a）所示左端外伸梁，外伸部分受集度为q的均布荷载作用，利用微分关系作梁的内力图。

解：由平衡条件求得支座反力为

FB＝（5/4）qa

FC＝－（1/4）qa（负号表示实际方向与图中相反）

AB段受向下的均布荷载，所以剪力图的斜率为负，斜直线从左到右向下斜。A端无集中力，剪力为零；B点左侧截面的剪力为－qa；用直线连接两点便得AB段的剪力图。

BC段内无荷载，剪力图为水平线，各截面的剪力均相等，C端左侧截面的剪力qa/4。整个梁的剪力图如图2.36（b）所示。

AB段的弯矩图为抛物线。A端无集中力偶，弯矩为零；B点的弯矩为qa2/2；又A点的剪力为零，所以弯矩图在该点有极值；用曲线连接两点便得AB段的弯矩图。

BC段的弯矩图为正斜率斜直线，C端无集个力偶，弯矩为零。整个梁的弯矩图如图2.36（c）所示。

【例2.15】 图2.37（a）所示外伸梁，外伸端A作用集中力偶M＝qa2，BC段所受均布荷载的分布集度为q，试利用微分关系作梁的内力图。

解：由平衡方程求支座反力：

∑MC（F）＝0

（3aq）×（3a/2）－M－FB×3a＝0

和

∑Fy＝0

FB＋FC－3aq＝0

解得

FB＝qa7/6

FC＝qa11/6

图2.37

AB段内无荷载，且A端无集中力，所以剪力为零；BC段受向下的均布荷载，剪力图为从左到右向下斜的斜直线，B点右侧截面的剪力为7qa/6，C端左侧截面的剪力为－11qa/6，用直线连接两点便得剪力图[图2.37（b）]。

AB段的剪力为零，弯矩为水平线，A端有集中力偶，弯矩就等于力偶矩，所以各截面的弯矩均为qa2；BC段的弯矩图为抛物线，B点的弯矩为qa2，C端无集中力偶，则弯矩为零；由剪力图，利用三角形的相似性，有

x/（3a－x）＝（7qa/6）÷（11qa/6）

得极值点距离B点的距离为

x＝7a/6

极大值弯矩

Mmax＝qa2＋（7qa/6）×（7a/6）－（q/2）×（7a/6）2＝（121/72）qa2

用曲线连接三个点便得弯矩图如图2.37（c）所示。（注意，极大值弯矩不一定就是整个梁中的最大弯矩）。

【例2.16】 图2.38（a）所示悬臂梁，AB段受均布荷载，B点作用一个集中力偶M＝qa2，试作此梁的内力图。

图2.38

解：从左边开始作图可无需求固定端反力。

AB段受向下的均布荷载，剪力图为斜直线，A端剪力为零，B点的剪力为－qa；BC段内无荷载，剪力图为水平线，固定端反力的数值就等于固定端左侧截面剪力的数值，如图2.38（b）所示。

AB段的弯矩图为向上的抛物线，A端无集中力偶，弯矩为零，B点左侧截面的弯矩为－qa2/2；因A点的剪力为零，所以弯矩图在该点有极值；用曲线连接两点便得AB段的弯矩图。BC段剪力为常数，弯矩图为斜直线，B点右侧截面的弯矩为qa2/2，固定端弯矩为－qa2/2，用直线连接两点便得弯矩图如[图2.38（c）]所示。