实验数据处理与不确定度概念详解

1.1 有效数字

1.1.1 有效数字的位数

有效数字是指在表达一个数量时，其中的每一个数字都是准确的、可靠的，而只允许保留最后一位估计数字，这个数量的每一个数字为有效数字。

附图1.1 有效数字示例

对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，至精确到的位数为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

用有效数字表达一个数量时，其中的每一个数字都是准确的、可靠的，而只允许保留最后一位估计数字，这个数量的每一个数字即为有效数字。

（1）纯粹理论计算的结果：如π、e等，它们可以根据需要计算到任意位数的有效数字，如π可以取3.14，3.141，3.1415，3.14159等。因此，这一类数量其有效数字的位数是无限制的。

（2）测量得到的结果：这一类数量其末一位数字往往是估计得来的，因此具有一定的误差和不确定性。例如用游标卡尺测量试样的直径为10.46mm，其中百分位是6，因游标卡尺的精度为0.02mm，所以百分位上的6已不大准确，而前三位数是肯定准确、可靠的，最后一位数字已带有估计的性质。所以对于测量结果只允许保留最后一位不准确数字，这是一个四位有效数字的数量。

1.1.2 有效数字的运算规则

根据GB/T8170—2008《数值修约规则与极限数值的表示和判定》，在近似数运算中，为了确保最后结果尽可能高的精度，所有参加运算的数据，在有效数字后可多保留一位数字作为参考数字，或称为安全数字。

（1）加减运算

运算结果的有效数字的末位应与小数点位最高的分量末位对齐。

举例：x＝189.6，y＝6.238，z＝4.36，则f＝x＋y－z≈189.6＋6.24－4.36＝191.48→191.5cm。与小数点位最高的分量189.6末位对齐。

（2）乘除运算

以有效位数最少的分量为准，将其他分量取到比它多一位，计算结果的有效位数和有效位数最少的分量相同。

举例l＝12.86，t＝1.53求

最终结果为：1.75。取有效位数最少1.53分量的有效位数。

（3）乘方和开方运算

乘方和开方结果的有效数字同乘除运算。

（4）函数的运算规则及有效数字

通常函数的有效数字同自变量的有效数字。

1.2 实验数值修约

1.2.1 数值修约规则概述

测量结果及其不确定度同所有数据一样都只取有限位，多余的位应予修约。数值修约规则采用国家标准GB/T8170—2008《数值修约规则与极限数值的表示和判定》规定。修约规则与修约间隔有关。

修约间隔是确定修约保留位数的一种方式。修约间隔一经确定，修约值即应为该数值的整数倍。例如，指定修约间隔为0.1，修约值即应在0.1的整数倍中选取；指定间隔为100，修约值应在100的整数倍中选取，相当于将数值修约到“百”数位。

数值修约时首先要确定修约数位，具体规定如下：

（1）指定修约间隔为10﹣n（n为正整数），或指明将数值修约到n位小数；

（2）指定修约间隔为1，或指明将数值修约到个位数；

（3）指定修约间隔为10n，或指明将数值修约到10n位数（n为正整数）。

1.2.2 进舍规则

（1）拟舍弃数字的最右一位小于5时，则舍去，即保留各位数字不变。

（2）拟舍弃数字的最右一位大于5或是5，但其后跟有并非全部为0的数字时，则进1，即保留的末尾数字加一。

（3）拟舍弃数字的最右一位为5，而右面无数字或皆为0，若保留的末位数字为奇数（1、3、5、7、9）则进1，为偶数（2、4、6、8、0）则舍去。以上记忆口诀为“5下舍去5上进，5整单进双舍去”。例：

修约到 位小数：12.1498→12.1

修约到个位数：10.502→11

修约到百位数：1268→13×102

修约间隔0.1：1.050→1.0，0.350→0.4

修约间隔103：2500→2×103，3500→4×103

注意：本进舍规则不许连续修约。

例如：修约15.4546，修约间隔为1。

正确的做法为：15.4546→15

不正确的做法为：15.4546→15.455→15.46→15.5→16

在具体实施中有时先将获得数值按指定位数多一位或几位报出然后再判定。为避免产生连续修约的错误，应按下述步骤进行：

（1）报出数字最后的非0数字为5时应在数值后加（＋）、（－）或不加，已分别表明已进行过舍、进或未舍未进。如16.50（＋）表示实际值大于16.50，经修约舍弃而成为16.50。

（2）如判定报出值需修约，当拟舍数字的最左一位数字为5而后面无数字或皆为0时，数值后面有（＋）者进1，数值后有（－）者舍去，其他仍按进舍规则进行，如附表1.1所示。

附表1.1 报出值修约示例

1.2.3 0.5及0.2单位修约

有时需用0.5单位修约或0.2单位修约。

0.5单位修约法：将拟修约数字乘2，按指定数位依进舍规则修约，所得数值再除以2。例如：将下列数修约至个位数的0.5单位。

附表1.2 0.5单位修约法示例

0.2单位修约法：将拟修正数乘5，按指定数位依进舍规则修约，所得数字再除以5。例如：将下列数字修约至个位数的0.2单位。

附表1.3 0.2单位修约法示例

1.2.4 最终测量结果修约

最终测量结果应不再含有可修正的系统误差。

力学试验所测定的各项性能指标及测试结果的数值一般是通过测量和运算得到的。由于计算的特点，其结果往往出现多位或无穷多位数字。但这些数字并不是都具有实际意义。在表达和书写这些数值时必须对它们进行修约处理。对数值进行修约之前应明确保留几位数有效数字，也就是说应修约到哪一位数。性能数值的有效位数主要决定于测试的精确度。例如，某一性能数值的测试精确度为±1％，则计算结果保留4位或4位以上有效数字显然没有实际意义，夸大了测量的精确度。在力学性能测试中测量系统的固有误差和方法误差决定了性能数值的有效位数。

1.3 误差的概念

1.3.1 真值的概念

被测对象的真实值（客观存在的值）即为被测对象的真值。真值往往是未知的，只有在三种状态下，真值被认为是已知的，即：计量学规定真值、理论真值和相对真值。

计量学规定真值：国际计量大会决议通过定义的某些基准量值，称为计量学规定真值或计量学约定真值。例：长度1m的定义，指光在真空中1/299792458s时间间隔内的行程长度。

理论真值：由公认的理论公式导出的结果或由规定真值经过理论公式推导而导出的结果。例：三角形内角之和为180°，圆周率π＝3.141592⋯。

相对真值：通过计量量值传递而确定的量值基准，算术平均值也可作为相对真值。由此可见，相对真值本身已具有误差。

1.3.2 误差的概念

误差是指某被测量的测量值与其真实值（或称真值）之间的差别。由于真值通常是未知的，因而误差具有不确定性。通常只能估计误差的大小及范围，而不能确切指出误差的大小。由于误差来源和性质的不同，误差表现出各种各样的规律。因而根据使用目的的不同，常使用不同的表示方法来表示误差的大小。

根据测量对象的不同，测量误差可用多种方法表示。

绝对误差：指测量值与真值之差，即：绝对误差＝测量值－真值。

相对误差：有利于评价测量过程的质量和水平，即：

引用误差：用于衡量仪器的测量误差，即：

误差的来源是多方面的，主要有以下几个方面。

测量装置误差：包括试验设备、测量仪器或仪表带来的误差。如设备加工粗糙、安装调试不当、缺少正确的维护保养、设备磨损等仪器传递误差、非线性、滞后、刻度不准等带来的误差。

测量环境误差：主要指环境的温度、湿度、气压、振动、电场、磁场等与要求的标准状态不一致，引起的测量装置和被测量本身的变化所造成的测量误差。

测量方法误差：指测量的方法不当而引起的测量误差。例如使用钢卷尺测量圆柱体的直径，方法本身就不合理。

测量人员误差：指测量者的分辨能力、熟练程度、精神状态等因素引起的测量误差。

按误差的性质，通常将误差分为随机误差、系统误差和粗大误差三类。

（1）随机误差：在相同条件下，对同一对象进行多次重复测量时，有一种大小和符号（正、负）都随机变化的误差，该误差被称为随机误差。就单次测量而言，测量中出现的随机误差没有规律，即大小、正负都不确定，但对于多次重复测量，随机误差符合统计规律，可用统计学的方法来处理。大多数随机误差符合正态分布规律。符合正态分布的随机误差具有以下特点：

对称性：绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等。

单峰性：绝对值小的误差出现的概率大，而绝对值大的误差出现的概率小。

有界性：在有限次测量中，随机误差的绝对值不会超过一定界限。(https://www.xing528.com)

抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差εi的代数和趋于零。

附图1.2 正态分布曲线

（2）系统误差：在相同条件下，对同一对象进行多次测量时，有一种大小和符号都保持不变，或者按某一确定规律变化的误差，称为系统误差。

按系统误差出现的特点以及对测量结果的影响，可分为定值系统误差和变值系统误差两大类。

定值系统误差，在整个测量过程中，误差的大小和符号都是不变的。

变值系统误差，在测量过程中，误差的大小和符号按一定的规律变化。根据变化的规律有：

①累积性系统误差（或称线性变化系统误差），在整个测量过程中，随着测量时间的增长或测量数值的增大，误差逐渐增大或减小。

②周期性系统误差：误差的大小和符号呈周期性变化。

③按复杂规律变化的系统误差：这种误差在测量过程中按一定的但比较复杂的规律变化。

附图1.3为几种常见的系统误差随时间变化的曲线。

根据对系统误差掌握的程度，系统误差又可分为“确定系统误差”和“不确定系统误差两类”。确定系统误差是指误差取值的变化规律和具体数值都已知，通过修正方法可消除的这类系统误差。不确定系统误差是指误差的具体数值、符号（甚至规律）都未确切掌握，但不是随机误差，它没有随机误差的可抵偿性特征的这类系统误差。

附图1.3 几种常见的系统误差

（3）粗大误差：由于测试人员的粗心大意而造成的误差。例如，测试设备的使用不当或测试方法不当，实验条件不合要求，错读、错记、偶然干扰误差等造成明显歪曲测试结果的误差。粗大误差通常具有明显特点，可以将测量数据从多次测量结果中剔除。

1.3.3 测量数据精度的概念

测量结果与真值的接近程序，称为精度。它与误差的大小对应。误差小则精度高，误差大则精度低。目前常用下述三个概念来评价测量精度。

准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度。表示测试数据的平均值与被测量真值的偏差。

精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。表示测试数据相互之间的偏差，亦称重复性。精密度高，则测试数据点比较集中。

附图1.4 数据精度比较示意图

精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差的综合影响程度。精确度高则系数误差和随机误差都小，因而其准确度和精密度必定都高。

准确度、精密度和精确度三者的含义，可用附图1.4打靶的情况来描述。图中（a）的精密度很高，即随机误差小，但准确度低，有较大的系统误差；（b）表示精密度不如（a），但准确度较（a）高，即系统误差不大；（c）表示精密度和准确度都高，即随机误差和系统误差都不大，即精确度高。我们希望得到精确度高的测量结果。

1.4 测量不确定度

1.4.1 不确定度的概念

测量误差与不确定度是计量测试的基本问题，任何计量测试都不可避免地存在着测量误差或不确定度。计量测试的直接目的，通常在于得出被测量的量值（数值×计量单位）及其测量误差或不确定度。量值体现被测量的大小，而测量误差或不确定度反映量值的可疑程度。也可以从另一个角度说，测量误差或不确定度是测量精度或可信程度的反映，测量误差或不确定度越小，测量精度或可信程度就越高。只有量值而无测量误差或不确定度的数据不是完整的测量结果，也就不具备充分的社会实用价值。所以，实验报告上的结果应给出测量结果的不确定度，测量结果的报告应尽量详细。

完整的测量结果至少含有两个基本量：一是被测量的最佳估计值，在很多情况下，测量结果是在重复观测的条件下确定的；二是描述该测量结果分散性的量，即测量结果不确定度。报告测量结果的不确定度有合成标准不确定度和扩展不确定度两种方式。在报告与表示测量结果及其不确定度时，对两者数值的位数，技术规范JJF1059—1999《测量不确定度评定与表示》做出了相应的规定。它合理地说明了测量值的分散程度和真值所在范围的可靠程度。不确定度亦可理解为，一定置信概率下误差限的绝对值。测量不确定度是测量质量的指标，是对测量结果残存误差的评估。

附图1.5 不确定度的分类

1.4.2 不确定度的术语

（1）标准不确定度：不确定度是说明测量结果可能的分散程度的参数。可用标准偏差表示，也可用标准偏差的倍数或置信区间的半宽度表示。

A类标准不确定度：用统计方法得到的不确定度。

B类标准不确定度：用非统计方法得到的不确定度。

（2）合成标准不确定度：由各不确定度分量合成的标准不确定度，称为合成标准不确定度。

（3）扩展不确定度：扩展不确定度是由合成标准不确定度的倍数表示的测量不确定度，即用包含因子k乘以合成标准不确定度得到一个区间半宽度，用符号U表示。包含因子的取值决定了扩展不确定度的置信水平。扩展不确定度确定了测量结果附近的一个置信区间。通常测量结果的不确定度都用扩展不确定度表示。

由于测量结果中既包括系统误差也包括随机误差，因此测量的不确定度中含有系统误差和随机误差所导致的成分。即：测量结果＝测得值±测量误差（或不确定度）。在国内外的文献中，一般皆将测量不确定度描述为：“测量不确定度（Uncertainty of Measurement）是测量结果所带有的一个参数，用以表征合理地赋予被测量之值的分散性。”

1.4.3 不确定度的来源

（1）被测量定义的不完善，实现被测量定义的方法不理想，被测量样本不能代表所定义的被测量。

（2）测量装置或仪器的分辨力、抗干扰能力、控制部分稳定性等影响。

（3）测量环境的不完善对测量过程的影响以及测量人员技术水平等影响。

（4）计量标准和标准物质的值本身的不确定度，在数据简化算法中使用的常数及其他参数值的不确定度，以及在测量过程中引入的近似值的影响。

（5）在相同条件下，由随机因素所引起的被测量本身的不稳定性。

1.5 多次直接测量量的标准不确定度的评定

1.5.1 标准不确定度的A类评定方法

（1）

（2）S（X）＝式中自由度为v＝n－1。

（3）u A＝

自由度意义：自由度数值越大，说明测量不确定度越可信。

1.5.2 标准不确定度的B类评定方法

由于B类不确定度在测量范围内无法用统计方法评定，方法评定的主要信息来源是以前测量的数据，如生产厂商提供的技术说明书、各级计量部门给出的仪器检定证书或校准证书等。从力学实验教学的实际出发，一般只考虑由仪器误差影响引起的B类不确定度u B的计算。在某些情况下，有的依据仪器说明书或检定书，有的依据仪器的准确定等级，有的则粗略地依据仪器的分度或经验，从这些信息可以获得该项系统误差的极限?，而不是标准不确定度。它们之间的关系为：

式中，C为置信概率p＝0.683时的置信系数，对仪器的误差服从正态分布、均匀分布、三角分布，C分别为3、、。大多数力学实验测量可认为一般仪器误差分布函数服从均匀分布，即C＝（附表1.4）。实验中Δ 主要与未定的系统误差有关，而未定系统误差主要来自于仪器误差Δ仪（附表1.5），用仪器误差Δ仪代替Δ，所以一般B类不确定度为：

附表1.4 几种非正态分布的置信因子C

附表1.5 常用实验设备的Δ仪值

单次直接测量的标准不确定度的评定：

在实验中，只测一次大体有三种情况：第一，仪器精度较低，偶然误差很小，多次测量读数相同，不必进行多次测量；第二，对测量结果的准确程度要求不高，只测一次就够了；第三因测量条件的限制（如金属拉伸试验中试样不可重复使用），不可能进行多次测量。在单次测量中，不能用统计方法求标准偏差，因而不确定度可简化为：。

1.5.3 合成标准不确定度的计算方法

对于受多个误差来源影响的某直接测量量，被测量量X的不确定度可能不止一项，设其有k项，且各不确定分量彼此独立，其协方差为零，则用方和根方式合成，不论各分量是由A类评定还是B类评定得到，称合成标准不确定度，用符号u C表示：

事实上，在大多数情况下，我们遇到的每一类不确定度只有一项，因此，合成标准不确定度计算可简化为：

评价测量结果，也写出相对不确定度，相对不确定度常用百分数表示。

1.5.4 关于扩展（展伸）不确定度与测量不确定度的报告与表示

扩展不确定度U（Expanded Uncertainty）由合成不确定度uc与包含（覆盖）因子k（Coverage Factor）的乘积得到U＝uc×k。

包含因子的选取方法有以下几种：

（1）如果无法得到合成标准不确定度的自由度，且测量值接近正态分布时，则一般取k的典型值为2或3，通常在工程应用时，按惯例取k＝3。

（2）根据测量值的分布规律和所要求的置信水平，选取k值。例如，假设为均匀分布时，置信水平p＝0.95，查附表1.6得k＝1.96。

完整的测量结果应有两个基本量，一是被测量量的最佳估计值y，一般由数据测量列的算术平均值给出，另一个就是描述该测量结果分散性的量，即测量不确定度，为方便起见，在实验中一般以合成标准不确定度uc给出，即：

x＝x±uc（置信概率p＝68.3％）

x＝x±U（置信概率p＝95.0％）

附表1.6 正态分布情况下置信概率p与包含因子k的关系

1.5.5 测量不确定度的评定步骤

（1）明确被测量的定义及测量条件、原理、方法和被测量的数学模型，以及所用的测量标准、测量设备等。

（2）分析并列出对测量结果有明显影响的不确定度来源，每个来源为一个标准不确定度分量。

（3）定量评定各不确定度分量，特别注意采用A类评定方法时要剔除异常数据。

对直接单次测量，u A＝0，u B＝，uc＝u B。

对直接多次测量，先求测量列算术平均值，再求平均值的实验标准差、A类标准不确定度、B类标准不确定度。

（4）计算合成标准不确定度。

（5）计算扩展不确定度U＝u C×k。

（6）报告测量结果实验中的不确定度简化为：x＝x±U（置信概率p＝95.0％）。

1.6 金属材料拉伸试验结果不确定度评定

金属材料拉伸试验结果不确定度的评定可见GB/T228.1 2010的附录L，由于篇幅关系，这里不再详细叙述。