逻辑代数中的三大基本准则

（1）对偶规则

若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶定理。

所谓的对偶式是，对于任何一个逻辑式Y，若将其中的“·”换成“+”，“+”换成“·”，0换成1，1换成0，则得到一个新的逻辑式YD，这个YD就是称为Y的对偶式，或者说Y和YD互为对偶式。

例如，若Y=A（B+C），则YD=A+BC

若Y=（AB+CD）′，则YD=（（A+B）（C+D））′

若Y=AB+（C+D）′，则YD=（A+B）（CD）′

为了证明两个逻辑式相等，也可以通过证明它们的对偶式相等来完成，因为有些情况下证明对偶式相等更加容易。

【例2.3.2】 证明式子：A+BC=（A+B）（A+C）解：首先写出等式两边的对偶式，得到：

根据乘法分配律可知，这两个对偶式是相等的，亦即A（B+C）=AB+AC。

由对偶定理即可确定原来的两式也一定相等，于是式子得到证明。

（2）反演定理

对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Y′。这一规律称为反演定理。

反演定理为求取已知逻辑式的反逻辑式提供了方便。在使用反演定理时需要注意遵守以下两个规则：

① 仍需遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序。(www.xing528.com)

② 不属于单个变量上的反号应保留不变。

【例2.3.3】 若Y=（（AB′+C）′+D）′+C，求Y′。

解：依据反演定理可直接写出：

【例2.3.4】已知Y=A（B+C）+CD，求Y′。

解：根据反演定理可写出：

（3）代入定理

在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这就是所谓的代入定理。

因为变量A仅有0和1两种可能的状态，所以无论将A=0还是A=1代入逻辑等式，等式都一定成立。而任何一个逻辑式的取值也不外乎0和1两种，所以用它取代式中的A时，等式自然也成立。因此，可以将代入定理看作无须证明的公理。

【例2.3.5】用代入定理证明（A+B）′=A′B′及（AB）′=A′+B′（即德·摩根律）。

解：已知（A+B）′=A′B′及（AB）′=A′+B′

以（B+C）代入左边等式中B的位置，同时以（BC）代入右边的等式中B的位置，于是得到：

对一个乘积项或逻辑式求反时，应在乘积项或逻辑式外边加括号，然后对括号内的整个内容求反。此外，在对复杂的逻辑式进行运算时，仍需遵守与普通代数一样的运算优先顺序，即先算括号里的内容，其次算乘法，最后算加法。