判断矩阵一致性检验方法及应用

在层次分析法中，为了构造判断矩阵引入了1～9 的比例标度方法，这就使得决策者判断思维数字化。这种将判断思维数字化的方法大大简化了问题的分析，使复杂的社会、经济及科学管理领域中的问题定量分析成为可能。为此，这种数字化方法还有助于决策者检查并保持判断思维的一致性。

在应用层次分析法时，保持思维一致性是非常重要的。所谓判断一致性，即判断矩阵A 有以下关系：

由矩阵理论，判断矩阵在满足上述完全一致条件下，具有惟一的非零解，也是最大的特征根λmax=n，且除λmax外，其余的特征根均为零。

前面已经提到过，在通过二二比较构成判断矩阵A 时，存在判断中的非一致性问题。这种非一致性，大多是思维的非一致性，也有笔误造成的。

只有判断矩阵满足判断一致性时，所求得的重要性矢量W的估计才能作为可靠的重要性比例标度，即权重。

若对上例中的标度矩阵修改为A' =即A'是经过三三比较得到的，且具有规范一致性。另外，要指出的是矩阵A 和矩阵A'都应是正互反阵，它们各个元素的差值一般不会太大。根据矩阵理论，我们知道一个正互反阵的系数的微小变动意味着特征值的变动也是微小的（Saaty，1980）。

根据上面渡槽组成部分对其安全性重要程度的分析，我们可通过求解下属系统得到相对重要性程度矢量W的估计：

式中　λmax——矩阵A 的最大特征根。根据Perron 定理，正矩阵有一个最大的实特征值，相应地存在惟一规范的非负特征向量，矩阵A 存在最大特征根，且

当A 满足完全一致性时，λmax= n；当A 不满足完全一致性时，

1.用方根法计算判断矩阵的最大特征根λmax

仍以上例叙述。

2.判断矩阵的一致性检验(www.xing528.com)

若判断矩阵具有完全的一致性，λmax= n，其余特征根均为零。

当矩阵A不具备完全一致性时，λ1=λmax＞n，λmax与其余的特征根λ2，…，λn 有如下关系：

由上式知，若判断矩阵具有较满意的一致性时，λmax稍大于n，其余特征根均接近于零。所以，上式计算值的大小就反映判断与完全一致性的偏离程度。即可以用判断矩阵最大特征根以外的其余特征根的负平均值的绝对值作为度量判断矩阵偏离一致性的指标。即用

检验专家判断思维的一致性。

为了度量不同阶判断矩阵是否具有满意的一致性，我们还需引入判断矩阵的平均随机一致性指标RI 值。对于1～9 阶判断矩阵，RI 值见表5-8。

表5-8　平均随机一致性指标RI 值

因为1，2 阶判断矩阵总具有完全一致性，所以，1，2 阶判断矩阵的RI 只是形式上的。当阶数大于2 时，判断矩阵的一致性指标CI 与同阶平均随机一致性指标RI 之比称为随机一致性比率，记为CR。当

时，即认为判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要舍去或调整判断矩阵，并使之具有满意的一致性。

此处平均随机一致性指标RI 是这样得到的，用随机方法构造500 个样本矩阵，具体构造方法是，随机地用1～9 标度中的1，2，3，4，5，6，7，8，9 以及它们的因数填满样本矩阵的上三角各项，主对角线各项数值始终为1，对应转置位置项则采用上述对应位置随机数的倒数。分别对500 个随机样本矩阵计算其一致性指标（λmax-n）/（n -1）值，然后取平均值，即得到上述平均随机一致性指标。

在上例中：

由上表知，n = 3 时，RI = 0.58，则CR = 0.018/0.58 =0.03＜0.10，故满足一致性要求。