基本体被平面截切后的部分称为切割体，截切基本体的平面称为截平面，基本体被截切后的断面称为截断面，截断面与基本体表面的交线称为截交线，如图4-12所示。
截交线的形状与基本体表面性质及截平面的位置有关。但任何截交线都具有下列两个基本性质：
图4-12 截交线的基本概念
（1）封闭性：任何基本体的截交线都是一个封闭的平面图形（平面折线、平面曲线或两者的组合）。
（2）共有性：截交线既在截平面上，又在立体表面上，是二者共有点的集合。因此，求截交线可归结为求立体表面上一系列的线段（棱线、纬圆或素线）与截平面的交点，然后依次连接。
一、平面与平面立体相交
由于平面立体完全是由平面所围成的，所以其截交线是一封闭的平面多边形，其中每个线段都是截平面与某个表面的交线。因此，求作截平面与平面立体截交线的问题可归结为平面与平面相交问题。
1.求作正五棱柱斜切后的截交线
如图4-13所示，正五棱柱各侧面都被正垂面P截断，其截面必为一个封闭的五边形，顶点就是截平面与各棱线的交点。作图时先利用积聚性求出截平面与五棱柱的交点的正面投影和水平投影，然后根据“高平齐”和直线上点的投影规律求出各点的侧面投影，依次连接各点即为所求截交线的投影。截交线的水平投影和侧面投影类似。利用换面法还可求出截交线的实形，如图4-13（b）所示。
图4-13 求正五棱柱的截交线
2.求三棱锥的截交线
如图4-14所示，三棱锥被一为正垂面的截平面所截切，因截平面P同时截断了三棱锥的三条棱线，所以利用积聚性可求出截交线的正面投影1′、2′和3′点。再利用“三等”投影关系和直线上点的投影规律，便可求出其余两投影。
3.求带切口三棱锥的投影
图4-15所示为一带切口的三棱锥，切口由水平截面和正垂截面组成，切口的正面投影有重影性。水平截面与三棱锥的底面平行，因此它与△SAB棱面的交线12必平行于底边AB；与△SAC棱面的交线23必平行于底边AC。正垂截面分别与△SAB、△SAC棱面交于24和34。由于组成切口的两个截面都垂直于正投影面，所以两截面的交线23一定是正垂线。画出这些交线的投影即完成切口的水平投影和侧面投影。具体作图方法如图4-15所示。应特别注意的是：组成切口两截面交线的水平投影2、3应连成虚线。
图4-14 求三棱锥的截交线
图4-15 带切口的三棱锥
二、平面与曲面立体相交
平面与曲面立体相交，其交线一般为封闭的平面曲线。截交线上的点是曲面上的素线与截平面的交点。因此，求曲面立体截交线的问题，亦可归结为求线面交点的问题。如果参与相交的截平面或圆柱面垂直于投影面，则作图时可利用投影的积聚性直接求解，而在一般情况下，则需要通过作辅助平面才能求出截交线的投影。
1.平面与圆柱相交
平面与圆柱相交所形成的截交线，按两者相对位置的不同有三种情况，见表4-1。
表4-1 平面与圆柱的截交线
（续表）
当截平面与圆柱轴线平行相交时，其截交线为矩形（其中左、右两边为圆柱面的素线）；当截平面与圆柱轴线垂直相交时，其截交线为圆；当截平面与圆柱轴线倾斜相交时，其截交线为椭圆。
【例2】求一斜切圆柱的截交线，如图4-16。
图4-16 斜切圆柱的投影
分析：该圆柱轴线是铅垂线，截平面是正垂面，且倾斜于轴线，故所得的截交线是一椭圆，其正面投影积聚在截平面的有积聚性的正面投影上；水平投影与圆柱的水平投影（圆）重合；侧面投影为不反映截交线实形的椭圆，需作图求出。
作图：
1）作截交线的特殊点：对于截交线侧面投影的椭圆，首先应求出长短轴的四个端点。长轴的端点A、C是椭圆的最低和最高点，分别位于圆柱面最左和最右素线上。短轴两端点B、D是椭圆的最前和最后点，分别位于圆柱最前和最后素线上。作图时，先取正面投影a′、c′、b′、（d′），得其水平投影a、c、b、d，再求出其侧面投影。
2）作一般点：利用截平面有积聚性的正面投影和圆柱面有积聚性的水平投影，作E、F、G、H四个一般位置点（一般为圆周的等分点）的水平投影e、f、g、h，直接得出其正面投影，再求出其侧面投影。
3）依次光滑连接各点，即得截交线的侧面投影。
【例3】求切口圆柱的侧面投影，如图4-17。
分析：从图中可看出，切口是由三个截平面切割圆柱而形成，其中左右对称的两个截平面是侧平面，与圆柱面的截交线是两条素线，与顶面的交线是正垂线。另一个截平面是水平面，它与圆柱面的交线是两段圆弧。三个截平面之间有两条交线，均为正垂线。
作图：
1）由于两侧平面的截交线是左右对称的，其侧面投影重合，因此，只需做出一个截平面的截交线投影即可，如做出右边的CDFE平面的截交线的投影。利用积聚性可直接找出C、D、F、E点的正面投影和水平投影，再根据点的投影规律做出其侧面投影。
2）特殊点A、B是转向轮廓线上的点，又是最前点和最后点，按点的投影规律可直接做出。
3）用实线连接b″d″、d″f″、f″e″、e″c″、c″a″，用虚线连接d″、c″。d″c″是水平面与侧平面的交线，且不可见。
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图4-17 切口圆柱的投影
2.平面与圆锥相交
平面与圆锥面相交，根据平面与圆锥轴线的相对位置不同，其截交线有五种形状，即两相交直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线（表4-2）。
现举例说明圆锥体截交线的画法。
【例4】已知圆锥与正垂面P相交，求截交线的投影，如图4-18所示。
分析：正垂面P与圆锥轴线斜交，且其夹角大于锥顶角之半，所以截交线是一椭圆。
由于截平面垂直于V面，而与H面及W面倾斜，故截交线的正面投影已知，而其水平投影及侧面投影仍为椭圆。
作图：
1）求椭圆的特殊点：
椭圆的长轴和短轴是12和34，两者垂直平分。1、2两点的正投影1′和2′位于圆锥的转向轮廓线上，其相应的水平投影及侧面投影为1、2和1″、2″。3、4两点的正面投影3′、（4′）位于1′2′的中点，用素线法或纬圆法可求出3、4（图中用纬圆法），由3′、（4′）及3、4可求出3″、4″。
点5和点6也是一对特殊点，其正面投影5′、（6′）在中心线上，侧面投影5″、6″是椭圆的侧面投影与圆锥的转向轮廓线的切点，据5′、（6′）和5″、6″直接求出5、6点。
2）求一般位置点7、8的投影，由7′、（8′）用素线法得7、8，再求得7″、8″。同样的方法可以求得一系列一般点。点越多画出的椭圆就越准确。
表4-2 平面与圆锥的截交线
3）依次光滑连接各点即得截交线的水平投影和侧面投影。
图4-18 正垂面截切圆锥
【例5】求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影，如图4-19所示。
分析：圆锥轴线为铅垂线，圆锥缺口部分是被P、Q、R三个平面截切而成。P面是正垂面，且通过锥顶，截交线为相交于锥顶的两段直线；Q是正垂面，与圆锥轴线倾斜，截交线为椭圆的一部分；R面为水平面，与圆锥轴线垂直，截交线为圆的一部分。而截平面Q分别与P、R相交，其交线为直线。
作图：
1）作特殊点：在正面投影中，确定各段截交线的结合点及投影轮廓线上点的投影1′、2′、（3′）、4′、（5′）、6′、（7′）、8′、（9′）、10′。然后，求出这些点的水平投影和侧面投影。
图4-19 带缺口圆锥的投影图
2）作一般点：为使截交线椭圆连接准确，在点4、6之间作辅助水平面T，求得一般位置点10、11的三面投影。
3）依次光滑连接各点并判别可见性。截交线的正面投影和侧面投影均可见。水平投影中Q、R两平面的交线67不可见，为虚线。
3.平面与圆球相交
平面与球面的交线均为圆，圆的大小由截平面与球心之间的距离而定。截平面通过球心，所得截交线（圆）的直径最大；截平面离球心越远，圆的直径就越小。
【例6】求带凹槽半球的水平投影和侧面投影，如图4-20（a）所示。
分析：由给定的正面投影可知，凹槽是由两侧平面A、B和一水平面C截切半球而成，截交线均为圆的一部分。凹槽的底面，其水平投影反映实形：由两段圆弧和两段直线（凹槽两侧面的投影）围成。侧面投影反映凹槽两侧面的实形：由一段圆弧和一段直线（凹槽底面的投影）围成。
作图：具体作图方法如图4-20（b）所示。
图4-20 带凹槽半球的截交线
三、平面与组合回转体相交
在一些零件上，有时也会出现平面与组合回转体的截交线。欲绘制组合回转体的截交线，必须先弄清它由哪些回转体组成；截平面的位置及截切回转体的范围；与各回转体的截交线的形状及结合点。然后分别求出截平面与各被截回转体的截交线，并在结合点处将它们连接起来。下面以圆锥与圆柱形成的组合回转体为例，介绍组合回转体及其截交线投影的画法。
【例7】已知组合回转体的投影如图4-21（a）所示，求作水平、侧面投影。
分析：由图4-21（a）知，该组合回转体左端是圆锥，右端是圆柱，左上部是被一水平面和一正垂面截切后形成的。水平截平面截到圆锥及圆柱，交线是双曲线和两条平行直线。正垂截平面截切到圆柱的一部分，交线为椭圆弧。三种截交线分别在回转体分界面和两截平面的交线处连接起来，结合点为b′、（c′）和d′、（e′）。
图4-21 组合回转体的截交线
作图：
1）作水平截平面与组合回转体的截交线。①正面投影积聚为直线段a′b′d′；②侧面投影积聚为直线段b″a″c″；③水平投影bac为双曲线，a为顶点，可由a′及a″对应做出。为准确作图，可用锥面取点法做出一般点1、2后，依次光滑连接。bd、ce为截切圆柱面的两条平行直线。
2）作正垂截平面与组合回转体的截交线。①正面投影积聚为直线段d′f′；②侧面投影为圆弧（d″）f″（e″），与圆柱的侧面投影圆重合；③水平投影为椭圆弧，f点为最右点，由f′、f″对应做出，d、e为结合点，在其中取一般点3、4后依次光滑连接。
3）作水平截平面与正垂截平面的交线。连接d、e成直线段。
4）作圆锥、圆柱结合面的水平投影。b、c间用虚线连接，前后两段用粗实线连接，如图4-21（b）所示。
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