数字化PID控制器原理及应用

1.PID控制器的优点

PID是比例、积分、微分的缩写，目前各种控制产品（例如PLC、DCS、工控机和专用的控制器）几乎都使用PID控制器，因此PID控制器是应用最广的闭环控制器。这是因为PID控制具有以下的优点：

（1）不需要被控对象的数学模型

大学的电类专业有一门课程叫做自动控制理论，它专门研究闭环控制的理论问题。这门课程的分析和设计方法主要建立在被控对象的线性定常数学模型的基础上。该模型忽略了实际系统中的非线性和时变性，与实际系统有较大的差距，实际上很难建立大多数被控对象较为准确的数学模型。此外自动控制理论主要采用频率法和根轨迹法来分析和设计系统，它们属于间接的研究方法。由于上述原因，自动控制理论中的控制器设计方法很少直接用于实际的工业控制。

PID控制采用完全不同的控制思路，它不需要被控对象的数学模型，通过调节控制器少量的参数就可以得到较为理想的控制效果。

（2）结构简单，容易实现

PLC厂家提供了实现PID控制功能的多种硬件软件产品，例如PID闭环控制模块、PID控制指令或PID控制功能块等，它们的使用简单方便，编程工作量少，只需要调节少量参数就可以获得较好的控制效果，各参数有明确的物理意义。

（3）有较强的灵活性和适应性

可以用PID控制器实现多回路控制、串级控制等复杂的控制。根据被控对象的具体情况，可以采用PID控制器的多种变种和改进的控制方式，例如PI、PD、带死区的PID、被控量微分PID和积分分离PID等。随着智能控制技术的发展，PID控制与现代控制方法结合，可以实现PID控制器的参数自整定，使PID控制器具有经久不衰的生命力。

2.PID控制器在连续控制系统中的表达式

PID控制器的传递函数为

模拟量PID控制器的输出表达式为

式中控制器的输入量（误差信号）为

sp(t)为设定值，pv(t)为过程变量（反馈值）；mv(t)是控制器的输出信号，KP为比例系数FB41称为增益），TI和TD分别是积分时间和微分时间，M是积分部分的初始值。

式（10-1）中等号右边的前3项分别是比例、积分、微分部分，它们分别与误差ev(t)、误差的积分和误差的一阶导数成正比。如果取其中的一项或两项，可以组成P、PI或PD调节器。一般采用PI控制方式，控制对象的惯性滞后较大时，应采用PID控制方式。

积分和导数是高等数学中的概念，它们都有明确的几何意义，并不难理解。控制器输出量中的比例、积分、微分部分都有明确的物理意义。

3.对比例控制作用的理解

PID的控制原理可以用人对炉温的手动控制来理解。假设用热电偶检测炉温，用数字式仪表显示温度值。在人工控制过程中，操作人员用眼睛读取炉温，并与炉温的设定值比较，得到温度的误差值。用手操作电位器，调节加热的电流，使炉温保持在设定值附近。有经验的操作人员通过手动操作可以得到很好的控制效果。

操作人员知道使炉温稳定在设定值时电位器的大致位置（我们将它称为位置L），并根据当时的温度误差值调整电位器的转角。炉温小于设定值时，误差为正，在位置L的基础上顺时针增大电位器的转角，以增大加热的电流；炉温大于设定值时，误差为负，在位置L的基础上反时针减小电位器的转角，以减小加热的电流。令调节后的电位器转角与位置L的差值与误差绝对值成正比，误差绝对值越大，调节的角度越大。上述控制策略就是比例控制，即PID控制器输出中的比例部分与误差成正比，比例系数（增益）为式（10-1）中的KP。

闭环中存在着各种各样的延迟作用。例如调节电位器转角后，到温度上升到新的转角对应的稳态值有较大的延迟。温度的检测、模拟量转换为数字值和PID的周期性计算都有延迟。由于延迟因素的存在，调节电位器转角后不能马上看到调节的效果，因此闭环控制系统调节困难的主要原因是系统中的延迟作用。

如果增益太小，即调节后电位器转角与位置L的差值太小，调节的力度不够，将使温度的变化缓慢，调节时间过长。如果增益过大，即调节后电位器转角与位置L的差值过大，调节力度太强，造成调节过头，可能使温度忽高忽低，来回震荡。

与具有较大滞后的积分控制作用相比，比例控制作用与误差同步，在误差出现时，比例控制能立即起作用，使被控制量朝着误差减小的方向变化。

如果闭环系统没有积分作用（即系统为自动控制理论中的0型系统），由理论分析可知，单纯的比例控制有稳态误差，稳态误差与增益成反比。图10-6和图10-7中的方波是比例控制的给定曲线，图10-6的系统增益小，超调量小，震荡次数少，但是稳态误差大。

图10-6 比例控制的阶跃响应曲线

图10-7 比例控制的阶跃响应曲线

增益增大几倍后，启动时被控量的上升速度加快（见图10-7），稳态误差减小，但是超调量增大，振荡次数增加，调节时间加长，动态性能变坏。增益过大甚至会使闭环系统不稳定。因此单纯的比例控制很难兼顾动态性能和稳态性能。

4.对积分控制作用的理解

（1）积分的几何意义与近似计算

PID程序是周期性执行的，执行PID程序的时间间隔为采样时间ST。第n次PID运算时的时间为STn，因为PID程序运行时ST为常数，将StT n=时PID控制器的输入量S()ev T n简写为()ev n，输出量S()mv T n简写为()mv n。

式（10-1）中的积分()dev t t∫对应于图10-8中误差曲线()ev t与坐标轴包围的面积（图中的灰色部分）。我们只能使用连续的误差曲线上间隔时间为ST的一些离散的点的值来计算积分，因此不可能计算出准确的积分值，只能对积分作近似计算。

一般用10-8图中的矩形面积之和来近似计算精确积分。每块矩形的面积为SS()ev jT T。为了书写方便，将S()ev jT简写为()ev j，各块矩形的总面积为 。当ST较小时，积分的误差不大。可以理解为每次PID运算时，积分运算是在原来的积分值的基础上，增加一个与当前的误差值成正比的微小部分（对应于新增加的矩形面积）。在图10-9中A点和B点、C点和D点之间，设定值大于反馈值，误差为正，积分项增大。在B点和C点之间，反馈值大于设定值，误差为负，积分项减小。

图10-8 积分的近似运算

(www.xing528.com)

图10-9 PID控制器输出中的积分分量

（2）积分控制的作用

在上述的温度控制系统中，积分控制相当于根据当时的误差值，周期性地微调电位器的角度。温度低于设定值时误差为正，积分项增大一点点，使加热电流增加；反之积分项减小一点点。只要误差不为零，控制器的输出就会因为积分作用而不断变化。积分这种微调的“大方向”是正确的，因此积分项有减小误差的作用。只要误差不为零，积分项就会向减小误差的方向变化。在误差很小的时候，比例部分和微分部分的作用几乎可以忽略不计，但是积分项仍然不断变化，用“水滴石穿”的力量，使误差趋近于零。

在系统处于稳定状态时，误差恒为零，比例部分和微分部分均为零，积分部分不再变化，并且刚好等于稳态时需要的控制器的输出值，对应于上述温度控制系统中电位器转角的位置L。因此积分部分的作用是消除稳态误差，提高控制精度，积分作用一般是必需的。在纯比例控制的基础上增加积分控制（即PI控制），被控量最终等于设定值（见图10-10），稳态误差被消除。

（3）积分控制的缺点

积分项与当前误差值和过去的历次误差值的累加值成正比，因此积分作用具有严重的滞后特性，对系统的稳定性不利。如果积分时间设置得不好，其负面作用很难通过积分作用迅速地修正。如果积分作用太强，相当于每次微调电位器的角度值过大，其累积的作用与增益过大相同，会使系统的动态性能变差，超调量增大，甚至使系统不稳定。积分作用太弱，则消除误差的速度太慢。

图10-10 PI控制器的阶跃响应曲线

（4）积分控制的应用

PID的比例部分没有延迟，只要误差一出现，比例部分就会立即起作用。具有滞后特性的积分作用很少单独使用，它一般与比例控制和微分控制联合使用，组成PI或PID控制器。PI和PID控制器既克服了单纯的比例调节有稳态误差的缺点，又避免了单纯的积分调节响应慢、动态性能不好的缺点，因此被广泛使用。

如果控制器有积分作用（例如采用PI或PID控制），积分能消除阶跃输入的稳态误差，这时可以将增益调得小一些。

（5）积分部分的调试

因为积分时间TI在式（10-1）的积分项的分母中，TI越小，积分项变化的速度越快，积分作用越强。综上所述，积分作用太强（即TI太小），系统的稳定性变差，超调量增大。积分作用太弱（即TI太大），系统消除稳态误差的速度太慢，TI的值应取得适中。

5.对微分控制作用的理解

（1）微分的几何意义与近似计算

在误差曲线ev(t)上作一条切线（见图10-11），该切线与x轴正方向的夹角α的正切值tanα即为该点处误差的一阶导数dev(t)/dt。PID控制器输出表达式（10-1）中的导数用下式来近似：

式中，ev(n–1)（见图10-11）是第n–1次采样时的误差值。将积分和导数的近似表达式代入式（10-1），第n次采样时控制器的输出为

在FB41“CONT_C”（连续控制器）中，KP、TI、TD和M分别对应于输入参数GAIN、TI、TD和积分初始值I_ITLVAL。

（2）微分部分的物理意义

PID输出的微分分量与误差的变化速率（即导数）成正比，误差变化越快，微分分量的绝对值越大。微分分量的符号反映了误差变化的方向。在图10-12的A点和B点之间、C 点和D点之间，误差不断减小，微分分量为负；在B点和C点之间，误差不断增大，微分分量为正。控制器输出量的微分部分反映了被控量变化的趋势。

图10-11 微分的近似计算

图10-12 PID控制器输出中的微分分量

有经验的操作人员在温度上升过快，但是尚未达到设定值时，根据温度变化的趋势，预感到温度将会超过设定值，出现超调。于是调节电位器的转角，提前减小加热的电流。这相当于士兵射击远方的移动目标时，考虑到子弹运动的时间，需要一定的提前量一样。

在图10-12中启动过程的上升阶段（A点到E点），被控量尚未超过其稳态值，超调还没有出现。但是因为被控量不断增大，误差e(t)不断减小，误差的导数和控制器输出量的微分分量为负，使控制器的输出量减小，相当于减小了温度控制系统加热的功率，提前给出了制动作用，以阻止温度上升过快，所以可以减小超调量。因此微分控制具有超前和预测的特性，在温度尚未超过稳态值之前，根据被控量变化的趋势，微分作用就能提前采取措施，以减小超调量。在图10-12的E点和B点之间，被控量继续增大，控制器输出量的微分分量仍然为负，继续起制动作用，以减小超调量。

闭环控制系统的振荡甚至不稳定的根本原因在于有较大的滞后因素，因为微分分量能预测误差变化的趋势，微分控制的超前作用可以抵消滞后因素的影响。适当的微分控制作用可以使超调量减小，调节时间缩短，增加系统的稳定性。对于有较大惯性或滞后的被控对象，控制器输出量变化后，要经过较长的时间才能引起反馈值的变化。如果PI控制器的控制效果不理想，可以考虑在控制器中增加微分作用，以改善闭环系统的动态特性。

（3）微分部分的调试

微分时间TD与微分作用的强弱成正比，TD越大，微分作用越强。微分作用的本质是阻碍被控量的变化，如果微分作用太强（TD太大），对误差的变化压抑过度，将会使响应曲线变化迟缓，超调量反而可能增大（见图10-22）。此外微分部分过强会使系统抑制干扰噪声的能力降低。

综上所述，微分控制作用的强度应适当，太弱则作用不大，过强则有负面作用。如果将微分时间设置为0，微分部分将不起作用。

（4）不完全微分PID

微分作用的引入可以改善系统的动态性能，其缺点是对干扰噪声敏感，使系统抑制干扰的能力降低。为此在微分部分增加一阶惯性滤波环节，以平缓PID控制器输出中微分部分的剧烈变化。这种PID称为不完全微分PID。

设惯性滤波环节的时间常数为Tf，不完全微分PID的传递函数为

在FB41中，Tf对应于微分操作的延迟时间TM_LAG，闭环仿真发现，如果采用了不完全微分PID，当TD和Tf太大时，将会使响应曲线变得很怪异，甚至会出现“毛刺”。