标称状态线性化的卡尔曼滤波方程优化

考虑以下非线性系统：

或

当Wk―1或W(t)和Vk或V(t)的噪声恒为零时,上述系统模型(式(4.90)、式(4.91))的解称为非线性方程的理论解,又称“标称状态”,记为Xnk、Znk或Xn(t)、Zn(t),且有

或

把式(4.90)、式(4.91)的真实解称为“真状态”,记为Xk、Zk或X(t)、Z(t),则非线性系统的真状态与标称状态的差值为

或

4.6.1.1　非线性连续系统的线性化

假设非线性系统的真状态与标称状态的差值非常小,则在标称状态处进行泰勒展开,并省略二次项及更高阶项,有

式中,

将称为雅可比矩阵,并简写如下：

则连续型线性化卡尔曼滤波方程可写为

4.6.1.2　非线性离散系统的卡尔曼滤波方程

非线性离散系统的卡尔曼滤波方程的推导方法有两种：一种是先进行非线性连续系统的离散化,再进行线性化；另一种是先进行非线性连续系统的线性化,再离散化。下面将分别对这两种方法进行说明。

1.先离散化后线性化(www.xing528.com)

将离散系统真状态与标称状态之间的偏差围绕标称状态进行泰勒展开,即

式中,

并称Φk,k―1、Hk为雅可比矩阵。

根据4.2节推导的卡尔曼滤波基本方程,可得状态标称的卡尔曼滤波递推方程为

滤波和误差方差矩阵的初值分别为

2.先线性化后离散化

该方法是通过对非线性连续系统泰勒展开后的线性方程进行离散化：

得到离散型线性方程为

式中可按照4.3.3节所述的方法进行离散化,即

式中,T——一个采样周期

根据4.2节推导线性离散型卡尔曼滤波方程的方法,可以得到非线性离散系统的卡尔曼滤波方程为

滤波和误差方差矩阵的初值分别为

将这两种方法进行比较,可知先线性化后离散化的方法更加简单方便。