线性系统稳定性的判定方法及应用

卡尔曼给出了随机线性连续系统的稳定性判据,在此基础上给出了随机线性离散系绕的稳定性判据。假设线性连续随机系统为

如果该连续系统是一致完全随机可控和一致完全随机可观测,并且过程噪声方差阵和量测噪声方差阵是正定的,则卡尔曼滤波器是一致渐近稳定的。

其中,一致完全随机可控是指

式中,σ——任意正数；

Φ(t,τ)——从τ到t的系统转移矩阵。

一致完全随机可观是指：

对于确定性系统来说,上式可以简化为

对于离散系统来说,如果系统是一致完全随机可控和一致完全随机可观,且过程噪声方差阵和量测噪声方差阵是正定的,则卡尔曼滤波器是一致渐近稳定的。

离散系统一致完全随机可控是指

离散系统一致完全随机可观是指

对于定常系统,无论是离散还是连续的,一致完全随机可控和一致完全随机可观就是完全随机可控和完全随机可观。其中,完全随机可控的判别式为

完全随机可观的判别式为

利用随机可控和随机可观作为滤波稳定性的判别条件是目前常用的稳定性判断条件,但是惯性导航系统不满足该条件,为此,提出了其他较宽的判别条件：如果系统是完全随机可检测的,且估计误差方差阵初值P0是正定矩阵,则卡尔曼滤波器是滤波稳定的。所谓完全随机可检测,是指系统经满秩线性变换后被分离成可观测部分和不可观测部分,如果不可观测部分是稳定的,则称系统是完全随机可检测的。(www.xing528.com)

一般来说,线性定常系统的可观测性分析较为简单。对于时变方程,Goshen-Meskin D提出了一种分段线性定常系统可观测性分析方法(Piece-Wise Constant Systems,PWCS),即将该系统分成q个时间段,在每个时间段内,Φk,k―1、Hk、Γk,k―1都为常数矩阵,系统可看作线性定常系统。

在第k个时间段内,滤波方程的总可观测矩阵Q(q)可以用状态转移矩阵和观测矩阵表示：

式中,n——状态向量的维数。

由于该总可观测矩阵满足Z＝Q(q)X0,因此,当总可观测矩阵Q(q)满秩时,状态量可由外观测量全部表示,则滤波方程是完全可观的。但是Q(q)的计算量很大,需要进行简化处理。当满足一定条件时,可用子可观测性矩阵(SOM)Q∗(q)来判断系统的观测性。

由于PWCS法只能定性地分析出滤波方程的可观测性,即只能判断哪些状态是可观的,哪些状态是不可观的,但分析不出可观测状态的可观测度,因此在PWCS方法的基础上,国内外学者提出了奇异值分解法(SVD),对系统状态量的可观测性进行定量分析。

对矩阵Q∗(q)进行奇异值分解：

式中,

m是观测向量的维数；r和σa(a＝1,2,…,r)分别为可观测矩阵Q∗(j)的秩和对应的奇异值。

各状态量初值与奇异值之间具有对应关系,即

令矩阵U、V用列向量表示,即

代入式(4.88),得状态量的初值为

由此求得的X0,i是一个n×1维向量,σi对应X0,i中取得最大绝对值的状态量,并且σi越大,该状态量的估计精度就越高。