在实际系统中,其状态方程一般为连续方程,量测方程一般为离散方程,因此需要将随机线性连续系统状态方程离散化。
随机线性连续系统的状态方程如式(4.37)所示,其状态方程的解为
式中,Φ(t,t0)——系统的n×n维状态转移矩阵,它是下列矩阵方程的解：
并且,Φ(t,t0)满足
假定等时间间隔采样,采样间隔Δt＝tk＋1―tk(k＝0,1,2,…)为常值。在采样时刻tk＜t＜tk＋1(k＝0,1,2,…),从tk到tk＋1(k＝0,1,2,…),可得
在采样间隔tk与tk＋1之间,可以认为过程噪声W(τ)保持常值,记为W(tk),即
令
并代入式(4.64),可得
其中,若W(t)是p维白噪声向量,则W(tk)是p维白噪声序列。
将Φtk＋1tk和Γtk＋1tk在采样时刻tk处做泰勒展开为
即
接下来,介绍Qk与Q(t)的关系。(www.xing528.com)
在tk到tk＋1(k＝0,1,2,…)的采样间隔内,过程噪声方差有如下关系：
则
式中,δkj——只有k＝j时(即两积分区间重合时),上述积分才不为零；
Q(t)——过程噪声矩阵W(t)的协方差矩阵。
尽管W(t)随时间变化剧烈,但Q(t)随时间变化较慢,所以在从tk到tk＋1(k＝0,1,2,…)的采样间隔内,Q(t)可近似看作常数Q(tk)。因此,式(4.72)可进一步写为
即白噪声序列W(tk)的协方差矩阵为
式(4.73)的物理意义：在Δt→0的情况下,离散噪声序列Wk趋向于持续时间为零、幅值为无穷大的脉冲序列。脉冲自相关函数与横轴所围的面积Q(tk)˙Δt等于连续白噪声脉冲自相关函数与横轴所围的面积Q(t)。
因此,随机线性连续系统和随机线性离散系统之间的关系为
当Δt→0时,可将Δt的二次项及更高次项忽略,即
最后,对上述各式简写如下：
则状态方程可简写为如下形式：
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