等效旋转矢量法：简单有效的计算方法

刚体的空间角位置与旋转次序有关,四元数使用的角增量假设载体从上一时刻到当前时刻的转轴空间位置保持不变,但这种假设会带来旋转的不可交换误差。等效旋转矢量法就能对这种不可交换误差进行补偿。该方法适合在高动态环境下应用。

2.3.4.1　旋转矢量与姿态四元数之间的关系

假设在k时刻的载体坐标系为bk,参考坐标系为Rk,这两个坐标系在起始时刻重合,bk系相对于参考坐标系做定轴转动,即绕通过原点的单位矢量u转动φ角,并记bk至bk＋1的旋转四元数为q(h)、Rk至bk的旋转四元数为Q(k)、Rk＋1至bk＋1的旋转四元数为Q(k＋1)、Rk至Rk＋1的旋转四元数为p(h),其中h＝tk＋1―tk,则

用四元数法来表示,则式(2.91)可写为

由四元数的运算法则,则式(2.92)可变换为

又因为参考坐标系在短时间内变换很小,即

式中,

式中,Q(k)、Q(k＋1)称为参考坐标系到载体坐标系的姿态四元数；q(h)称为采样周期内的姿态变化四元数；φ即bk至bk＋1的等效旋转矢量,这是一个三元素的矢量,其方向为转轴方向,大小为旋转角度；3个独立参数即3个自由度,这与前文介绍的方向余弦矩阵、欧拉角和四元数的自由度是一致的。

式(2.94)、式(2.95)即等效旋转矢量φ与姿态四元数Q(k)、Q(k＋1)之间的关系式。

2.3.4.2　等效旋转矢量微分方程(www.xing528.com)

根据式(2.88),可得姿态变换四元数满足的微分方程为

式中,

即等效旋转矢量为φ＝φu。

由于姿态四元数为规范化四元数,满足q―1＝q∗,所以式(2.97)可以写为

记

所以

将式(2.98)、式(2.101)代入式(2.99),可得

对式(2.102)右边各部分的求解可通过先对等效旋转矢量φ求导,再进行一系列数学运算得到,具体推导过程可参考文献[85],在此不详细展开,直接给出等效旋转矢量微分方程,有

该式给出了等效旋转矢量与载体角速度之间的关系,对式中的三角函数做泰勒级数展开,并忽略φ的高阶次项,即可得到工程上常用的近似方程：