如何使用四元数法表示载体坐标系与导航坐标系间的旋转？

2.3.3.1　四元数的定义与基本性质

1943年,哈密顿为研究空间矢量找到类似解决平面问题中使用的复数方法,提出了四元数的概念。四元数既可以代表一个转动,又可以作为变换算子。它不仅具有其他定位参数的综合优点(如方程无奇性、线性程度高、计算时间短、计算误差小、乘法可交换等),而且由于表达形式的多样性,它还具有其他变换算法(如矢量算法、复数算法、指数算法、矩阵算法、对偶数算法等)的综合功能。因此,四元数在陀螺实用理论、捷联式惯性导航、机器与机构、机器人技术、多体系统力学、人造卫星姿态控制等领域中的应用十分广泛。随着捷联式惯性导航技术的发展,四元数法被广泛应用,它不但能简便地描述刚体的角运动,而且能很好地弥补欧拉角法的不足。下面将对四元数的定义作具体说明。

四元数,是指由一个实数单位1和三个虚数单位组成的具有下列实元的数：Q＝q0˙1＋q1i＋q2j＋q3k。其中,i、j、k的运算规则遵循四元数的乘法规则,用符号⊗表示为

四元数的范数定义：若‖Q‖＝1,则称作规范四元数。

四元数的共轭表示：Q∗＝q0―q1i―q2j―q3k。

两个四元数的加、减、乘、除运算规则如下：

设Q＝q0＋q1i＋q2j＋q3k,P＝p0＋p1i＋p2j＋p3k,则

式(2.40)可用矩阵表示为

从式(2.41)可以看出,M(P)矩阵的第一列是四元数P的各元素,第一行是P∗的各元素。划去M(P)矩阵的第一行和第一列后的剩下部分称为四元数P的核,即

该矩阵是由四元数P的各元素构成的反对称矩阵。

同理可得,四元数M′(Q)的核为

四元数的乘法不满足交换律,但满足结合律和分配律,即

如果P⊗Q＝1,则称Q为P的逆,记作Q＝P―1,于是有

2.3.3.2　四元数表示转动

在研究飞行器的姿态时,一般把机体视为刚体。设有参考坐标系R,原点为O点,坐标轴为xR、yR、zR,坐标轴方向的单位矢量为iR、jR、kR。刚体相对坐标系R系绕O点做定点转动。取坐标系b与刚体固连,b系的坐标轴为xb、yb、zb,坐标轴方向的单位矢量为ib、jb、kb。

假设在初始时刻b系与R系重合,刚体以ω＝ωxi＋ωyj＋ωzk相对R系旋转,初始时刻位置向量处于经过时间t后位置向量处于如图2.13所示。该转动可等效为绕瞬轴转过θ角一次完成,图2.13中的轴OO′就是旋转角速度的矢量方向,即瞬轴u(单位向量)的方向,假设该瞬轴方向不变,并且图中O′A⊥O′B。

图2.13　四元数转动示意

下面分析r和r′之间的关系：

由此可得

根据三重矢积计算公式：

式(2.47)可进一步写为

将式(2.49)向R系投影,即

记为

则

记为

则

所以,

令

则

初始时刻的刚体固连坐标系记为b0。由于初始时刻的刚体固连坐标系b0与参考坐标系R重合,所以

又由于b系与刚体固连,即

因此有

即

该式说明D为b系至R系的坐标变换矩阵,即

令

并以q0、q1、q2、q3构造四元数,即

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则可得到以下结论：

(1)四元数描述了刚体的定点转动：uR为旋转瞬轴和旋转方向；θ为转过的角度。

(2)四元数可确定b系至R系的坐标变换矩阵,即

由于‖Q‖＝1,所以CRb也可以写成以下形式：

并将式(2.67)记为

(3)如果将向量rR、rb看作零标量的四元数,则其变换关系可采用四元数乘法表示,即

式中,Q——R系至b系的旋转四元数。

式(2.69)与rR＝CRbrb是等价的(读者可以自己证明)。由于四元数法只有4个元素,因此计算量较小,而且不存在奇异值的问题,所以在工程实践中较多地使用四元数法进行计算。但是,四元数法不具有直观性。

(4)四元数与欧拉角的对应关系。假设参考坐标系为导航坐标系n系,利用欧拉角法可得从导航坐标系到载体坐标系的变换矩阵Cbn为

根据式(2.67)和式(2.68),可得当时,四元数和欧拉角的对应关系为

其偏航角和滚转角的方向可分别按表2.5、表2.6所示的真值进行确定。

表2.5　偏航角真值

表2.6　滚转角真值

例2-1当导航坐标系为“东北天”,载体坐标系为“右前上”时,载体坐标系到导航坐标系的旋转四元数为Q＝q0＋q1i＋q2j＋q3k。

(1)若q0＝0.1,q1＝0.2,q2＝0.3,q3＝0.4,求载体坐标系的3个欧拉角。

(2)若将导航坐标系定义为“北东地”,将载体坐标系选为“前右下”,求载体坐标系到导航坐标系的旋转四元数Q′。

解：(1)“东北天”→“右前上”。用欧拉角表示导航坐标系到载体坐标系的转换矩阵为

根据式(2.71),可得欧拉角用四元数表示为

根据表2.5、表2.6来确定偏航角和滚转角的符号,可知

因此,有

(2)设东北天坐标系为n系,右前上坐标系为b系,北东地坐标系为n′系,前右下坐标系为b′系。

①“东北天”→“右前上”。导航坐标系n绕―z轴转动ψ角,绕x轴转动θ角,绕y轴转动γ角,可得载体坐标系b系。根据欧拉角与四元数的对应关系,可写为

②“北东地”→“前右下”。导航坐标系绕z轴转动ψ角,绕y轴转动θ角,绕x轴转动γ角,可得载体坐标系,根据欧拉角与四元数的对应关系,可写为

根据对应关系,可得

即

2.3.3.3　四元数微分方程

根据2.3.3.2节,四元数可以表示为

对两边分别求导,可得

由于u代表瞬轴的方向,刚体的旋转角速度ω＝,方向沿u,因此在载体坐标系内观察转动时,有

于是,有

又由于

所以,有

在捷联式惯性导航系统中,角速度信息是由陀螺仪提供的,即输出数据在载体坐标系中,所以需要将式(2.86)中的换算成。由于

即

因此,有

写成矩阵形式为