随机误差的来源和处理方法

随机误差与系统误差的来源和性质不同，所以处理的方法也不同。由于随机误差是由一系列随机因素引起的，因而随机变量可以用来表达随机误差的取值范围及概率。若有一非负函数f（x），其对任意实数有分布函数F（x）

称f（x）为x的概率分布密度函数。

式（1-19）为误差在（x1，x2）之间的概率，在测量系统中，若系统误差已经减小到可以忽略的程度后才可对随机误差进行统计处理。

（1）随机误差的正态分布规律

实践和理论证明，大量的随机误差服从正态分布规律。正态分布的曲线如图1-12所示。图中的横坐标表示随机误差Δx=xi-x0，纵坐标为误差的概率密度f（Δx）。应用概率论方法可导出

式中，特征量σ为

图1-12　随机误差的正态分布曲线

σ称为标准差，其中n为测量次数。

（2）真实值与算术平均值

设对某一物理量进行直接多次测量，测量值分别为x1，x2，xi，…，xn，各次测量值的随机误差为Δxi=xi-x0。将随机误差相加

两边同除n得

用代表测量列的算术平均值

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式（1-21）改写为

根据随机误差的抵偿特征，即

可见，当测量次数很多时，算术平均值趋于真实值，也就是说，算术平均值受随机误差影响比单次测量小，且测量次数越多，影响越小。因此可以用多次测量的算术平均值代替真实值，并称为最可信数值。

（3）随机误差的估算

1）标准差。标准差σ定义为它是在一定测量条件下随机误差最常用的估计值。其物理意义为随机误差落在（-σ，+σ）区间的概率为68.3%。区间（-σ，+σ）称为置信区间，相应的概率称为置信概率。显然，置信区间扩大，则置信概率提高。置信区间取（-2σ，+2σ）、（-3σ，+3σ）时，相应的置信概率P（2σ）=95.4%、P（3σ）=99.7%。

定义3σ为极限误差，其概率含义是在1000次测量中只有3次测量的误差绝对值会超过3σ。由于在一般测量中次数很少超过几十次，因此，可以认为测量误差超出±3σ范围的概率是很小的，故称为极限误差，一般可作为可疑值取舍的判定标准。

图1-13是不同σ值时的f（Δx）曲线。σ值越小，曲线陡且峰值高，说明测量值的随机误差集中，小误差占优势，各测量值的分散性小，重复性好。反之，σ值越大，曲线较平坦，各测量值的分散性大，重复性差。

图1-13　不同σ的概率密度曲线

2）单次测量值的标准差的估计。由于真值未知时，随机误差Δxi不可求，可用各次测量值与算术平均值之差——剩余误差

代替误差Δxi来估算有限次测量的标准差，得到的结果就是单次测量的标准差，用表示，它只是σ的一个估算值。由误差理论可以证明单次测量的标准差的计算式为

这一公式称为贝塞尔公式。

同理，按计算的极限误差为的物理意义与σ的相同。当n→∞时，有n-1→n，则在一般情况下，对于和σ的符号并不加以严格的区分，但是n较小时，必须采用贝塞尔公式计算的值。

3）算术平均值的标准差的估计。在测量中用算术平均值作为最可信赖值，它比单次测量得到的结果可靠性高。由于测量次数有限，因此也不等于x0。也就是说，还是存在随机误差的，可以证明，算术平均值的标准差是单次测量值的标准差的倍，即

式（1-25）表明，在n较小时，增加测量次数n，可明显减小测量结果的标准差，提高测量的精密度。但随着n的增大，减小的程度越来越小；当n大到一定数值时就几乎不变了。