问题求解模型优化方法

1.设计目标

简化的INTELSAT-Ⅲ卫星舱布局设计问题可描述如下[441]：在如图6.1（a）所示的INTELSAT-Ⅲ卫星舱内，设置有两个大小相同的垂直于舱的中心轴线的圆形隔板，需要装载的仪器、设备称为待布物。要求将给定的n个待布物合理地布置于圆形隔板上下两侧，使得全舱总体布局满足以下技术要求：

（1）各待布物之间不得发生干涉，即互不重叠；

（2）待布物的任何部分不得超出给定的布局空间，即不得与舱体发生干涉；

（3）整个系统的静稳定性误差，即包含所有待布物的全舱实际质心位置与期望位置（如压心）的误差，应小于给定许用值；

（4）整个系统的主惯性夹角误差，即全舱的惯性主轴与星体坐标轴方向的夹角，应小于给定许用值；

（5）整个系统的惯量特性应尽可能优；

（6）整个系统的空间利用率尽可能高。

2.设计变量

根据问题的实际情况，参考我国航天工业标准[442]，本章设计参数所在的相关坐标系定义如下（参见图6.1和图6.2）：

（1）Oxyz为全局参考坐标系，其中：

O——坐标原点，选在卫星的对接面或安装测量基准面的几何中心上；

z轴——卫星纵向对称轴，发射瞬时向上为正；

x轴——垂直于纵轴平面，发射瞬时指向为正；

y轴——与x轴、z轴构成右手直角坐标系。

应用全局参考坐标系计算卫星的质心坐标、确定各待布物的布局安装位置等。

（2）O′x′y′z′为星体坐标系（卫星舱质心坐标系），其中：

O′——坐标原点，位于卫星的质心处；

z′轴——卫星纵向对称轴，与z轴平行或重合；

x′轴、y′轴——分别与x轴、y轴平行。

卫星质量特性中的转动惯量、惯量积的数值用星体坐标系给出。

（3）O″x″y″z″为计算单元自身坐标系（待布物质心坐标系），其中：

O″——坐标原点，位于各计算单元（待布物）的质心处，一般选在简化的几何图形的形心上；

x″轴、y″轴、z″轴——计算单元的几何对称轴；在一般情况下，z″轴与z轴平行，而x″轴与x轴，y″轴与y轴呈夹角αi（逆时针方向为正）。

计算单元自身坐标系用于求得各待布物相对于其自身轴的转动惯量。

以上各坐标系及其相互间的关系如图6.2所示。

图6.2　各坐标系及其相互间的关系

设待布物集合OBJ={Obj1，Obj2，…，Objn}，n为待布物总数。本章中各待布物均简化为质量分布均匀的长方体或圆柱体包围盒。待布物Obji可描述为：Obji（pi，Ψi，di），其中pi=（xi，yi，zi）T∈R3为位置参考点坐标，本章均取质心为待布物位置参考点；Ψi=（α1，βi，χi）T∈R3为Obji在相对于全局参考坐标系Oxyz的三个坐标轴z、x、y的方向角，逆时针为正。di∈R3为待布物的几何尺寸向量。对长方体待布物，di=（ai，bi，hi）T，其中ai、bi、hi分别为底面长、短边长和高度；对圆柱体待布物，di=（ri，0，hi）T，其中ri、hi分别为底面半径和高度。为叙述方便，以下将所有舱体固定件整体视为一个物体，包括舱体壁、圆形隔板和舱内支撑立柱等，记为Obj0。在布局问题中，一般情况下待布物的几何尺寸是已知的，故最终要确定的是待布物的位置参考点位置和放置方向。则一般性卫星舱整体布局方案（设计变量）可表示为

对于本章中的卫星舱布局问题，由于待布设备安装在圆形隔板上，圆形隔板基面与全局参考坐标系Oxyz的xOy平面平行，因此，对于任意一个待布设备Obji，其相对于坐标轴x、y的方向角βi=χi=0，对圆柱体待布物，αi=0；对长方体待布物，αi为其底面长边与参考平面xOz的夹角，即长方体绕全局参考坐标系Oxyz的z轴旋转的角度，αi∈[0，π]。则本章的卫星舱整体布局方案（设计变量）可表示为(www.xing528.com)

3.数学模型

根据航天器舱的技术性能要求，分析上述设计目标和设计变量的分析，则本章卫星舱布局问题的优化数学模型可描述如下[69]。

求布局方案Xi∈R4n，即

不干涉条件为

静稳定性（质心位置）误差条件为

g2(X)=|x′-xe|-δxe≤0

g3(X)=|y′-ye|-δye≤0

g4(X)=|z′-ze|-δze≤0　(6.5)

主惯性夹角条件为

g5(X)=|θx|-δθx≤0

g6(X)=|θy|-δθy≤0

g7(X)=|θz|-δθz≤0　(6.6)

上面几个式子中，D为变量Xi可行域；Ixx、Iyy、Izz为全舱（含所有待布物、舱体壁及舱内圆形隔板等其他固定件）对星体坐标系的转动惯量，其计算公式采用我国航天工业标准[442]，计算公式为式（6.7）～式（6.9），ΔIxx、ΔIyy、ΔIzz为转动惯量的工程许用值；ΔVjk为待布物j、k的干涉体积，干涉量计算方法见Adamowicz（1976）和ESRO（2007）的文献；O′（x′，y′，z′）为卫星舱质心位置的真实值，（xe，ye，ze）为卫星舱质心位置的期望值，（δxe，δye，δze）为卫星舱质心位置误差许用值，则有

卫星舱的质心坐标可按下式计算，即

Jx″i、Jy″i和Jz″i分别表示第i个待布物绕其自身坐标系x″轴、y″轴和z″轴的转动惯量，其含义参见图6.3，计算方法如下。

图6.3　待布物在待布物质心坐标系下绕各坐标轴转动惯量的计算

（a）圆柱体待布物；（b）长方体待布物

对于圆柱体待布物i，有

对于长方体待布物i，有

δθx、δθy、δθz为舱体主惯性夹角的许用值，θx、θy、θz分别为舱体惯性主轴与星体坐标系x′、y′、z′坐标轴方向的夹角，计算方法为

式中，Ixy、Ixz、Iyz为全舱相对于星体坐标系的惯性张量，计算方法为