工字梁结构的优化设计问题

本例以图3.9所示的工字梁结构为目标进行优化[384，386]，对提出的算法进行验证。已知工字梁所受载荷P=600 kN，Q=50 kN，梁长度L=200 cm，梁材料的弹性模量E=2×104kN/cm2，许用应力σb=16 kN/cm2。要求在已知条件下确定梁的结构尺寸（10≤x1≤80，10≤x2≤50，0.9≤x3≤5，0.9≤x4≤5），使梁的截面积和垂直挠度最小。

图3.9　工字梁结构

梁的截面积f1表示成本指标，垂直挠度f2表示性能指标。工程中，设计者通常要在成本和性能间寻求折中，但一般情况下无法对这两者的重要程度进行精确赋值，因此定义其模糊重要程度关系更具有实用意义。本例中，根据原始优化模型[384-386]求得各子目标的优化结果如表3.4所示。假设f2比f1稍重要。折衷系数定义为三角模糊数1（1.0，1.125，1.333）和2（0.8，0.9，1.0），计算得到的各目标偏好区间的模糊边界值如表3.5所示。建立模糊交互式优化模型，分别取α=1，0.8，0.6，0.4，0.2，确定γ1、γ2的值，根据冲突矩阵进行交互优化，最终优化结果如表3.6所示。

表3.4　各子目标的优化结果

表3.5　各目标偏好区间的模糊边界值

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表3.6　取不同折衷系数时的最终优化结果

随着折衷系数阈值的放宽，最满意解的综合满意度不断提高。考虑设计对γ的要求，设α不能小于0.6，此时冲突矩阵非对角元素仍为负值，但其绝对值已经非常小，满足目标间冲突程度的设计要求，故取γ=（1.062 5，0.94）时的结果作为最满意解。此时X=（79.99，50.55，0.90，2.403 7）。若决策者上述模糊折衷下的解均不满意，则调整折衷系数γ，重新计算。

表3.7给出了上述算例采用其他方法时的优化结果。方法1在计算时仅考虑使各目标值与其期望值的偏差最小，而忽略了各目标在工程中的实际相对重要度。方法2虽然考虑了目标间的相对重要度，但没有说明设定权重取值范围的依据，所以不易被工程人员把握。本章方法只需工程专家提供目标间重要关系的语言描述，即可实现各目标间的协同优化，因此更加符合工程实际。

表3.7　采用其他方法时的优化结果

注：方法1为Hajela（1990）所采用的方法；方法2为古莹奎（2004）所采用的方法。