简单验证Pareto解集削减法的数值例子

采用一个检验Pareto解集削减法的常见示例进行验证[372]。该示例中，各目标权重均匀赋值时，模型的Pareto解在其Pareto曲面上呈明显的非均匀分布特性。因此，能够较好体现优化算法在均匀搜索Pareto解方面的性能。

例：求x，已知其模型为

min　F(x)=[f1(x),f2(x)]T

f1(x)=x2-2x

f2(x)=-x

s.t.　D={x|0≤x≤2}

该问题包含一个设计变量，两个设计目标[372]，由于两个目标存在冲突，不存在唯一最优解。该问题的Pareto曲面如图2.12所示。分别采用两种Pareto解集削减法求解该问题的满意解集。

采用FPPP方法（基于FPPP模型的Pareto解集削减方法）对Pareto解集进行削减时，设定偏好函数类型和模糊区间边界值如表2.5所示。

图2.12　多目标优化问题的Pareto曲面

表2.5　采用FPPP方法时设定的偏好函数类型和模糊区间边界值

采用平移法平均取点，令n=5，则可获得每个目标的11条偏好函数，最终得到的满意解集如表2.6所示。表中各满意解间的距离波动范围为（0.012 8，0.014 4），同一目标取值间距的最大偏差约为25%。因此，可认为该满意解集是均匀分布在Pareto曲面满意区域内的。

表2.6　FPPP方法得到的满意解集(www.xing528.com)

续表

采用FWPP方法（基于FWPP模型的Pareto解集削减方法）时，取2（0.3，0.35，0.4）、1（0.6，0.65，0.7），设定偏好函数类型和模糊区间边界值如表2.7所示。FWPP方法得到的满意解集如表2.8所示。均匀离散权值方法得到的满意解集如表2.9所示。

表2.7　采用FWPP方法时设定的偏好函数类型和模糊区间边界值

表2.8　FWPP方法得到的满意解集

表2.9　均匀离散权值方法得到的满意解集

续表

FWPP方法获得的满意解均满足间距要求，获得的满意解间的距离波动范围为（0.006 2，0.008 1），同一目标取值间距的最大偏差约为25%。均匀离散权值方法获得的满意解间的距离波动范围为（0.012 5，0.018 7），最大偏差约为53%。显然，加权和法获得的满意解集的均布性较差。

综上所述，本书所提的两种Pareto解集削减法均可避免加权和法造成的Pareto解遗漏或分布不均的问题，决策者可根据不明确偏好信息形式选择适当方法建立模糊优化问题的满意解集。