数值模拟理论基础：2.5的重要性

在工程技术领域中，对于许多力学问题和物理问题，人们已经研究得到了它们遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件。而求解这些问题的方法主要有下列三种：

1）解析方法。应用此方法可求解方程比较简单且几何形状相当规则和边界约束理想化的问题，但当方程的某些特征具有非线性性质或求解区域的几何形状复杂时，则不能利用此方法求出其精确解。因此，其工程应用层面相当狭窄。

2）引入简化假设法。将方程、几何形状和边界条件简化，使之达到可应用解析方法求解的地步，然后再利用解析方法求出其简化后的答案。但是这种方法只在有限的某些情况下才可行，因为过多的简化可能导致误差很大或甚至得出错误的解答。

3）数值计算方法。利用数值计算方法可求得复杂工程实际问题的近似解，特别是近50年来，随着电子计算机的高速发展和广泛使用，数值分析方法已成为求解科学技术和工程问题的主要工具。(www.xing528.com)

数值分析方法发展至今基本上可以分为两大类。

一类是以有限差分法（Funite Difference Method，FDM）为代表，其特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解，即首先将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程近似替代微分方程，从而求得网格结点上的近似解。如果划分的网格结点较多，近似解的精度可以得到保证。有限差分法能够求解某些相当复杂的问题，特别是求解建立于空间坐标系的流体流动问题。但必须看到有限差分法有很大的局限性，在求解几何形状复杂的问题时，它的精度将会降低，甚至会发生困难。

另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及定解条件相等效的积分方程，然后据此建立近似解法。加权残值法、最小二乘法、迦辽金（Galerkin）法、里兹（Ritz）法、力矩法等都属于这一类近似方法。如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上是求解泛函的极值或驻值。上述不同方法在不同领域中均有成功应用的实例，但也只局限于几何形状规则的问题。另外，由于它在整个求解领域上均假设为近似函数，对于几何形状复杂的问题，因不可能建立合乎要求的近似函数，故此方法仍然不可能给出具有相当精度要求的近似解。直到有限单元法（Finite El-ement Method，FEM）出现后，才使这类数值分析方法获得重大突破，并逐步发展成为一种独立的、新颖的且又十分有效的数值方法。