图形变换：平移、比例和旋转

时间：2023-06-28 理论教育版权反馈

【摘要】：图形变换是计算机图形学的基本内容之一。通过图形变换可以将简单图形变换为复杂的图形，可以将三维物体用二维图形表示。这里主要介绍图形的平移、比例和旋转等基本几何变换。通过变换产生原图形镜像的变换又称为反射变换。图2-7 图形的旋转变换a）变换前 b）变换后变换的矩阵表示1）齐次坐标。旋转变换1）绕坐标轴旋转变换矩阵。

图形变换：平移、比例和旋转

图形变换是计算机图形学的基本内容之一。通过图形变换可以将简单图形变换为复杂的图形，可以将三维物体用二维图形表示。图形变换包括几何变换和非几何变换，几何变换是指改变图形的几何形状和位置，而非几何变换则是改变图形的颜色、线型等非几何属性。这里主要介绍图形的平移、比例和旋转等基本几何变换。

1.二维图形变换

（1）变换原理

1）平移变换。xOy平面上的点P（x，y）在其坐标方向上增加平移量T_x和T_y，可变换至新位置（x′，y′）。平移变换的关系式为

x′=x+T_xy′=y+T_y

平移使图形相对于原坐标系由一个位置移动至另一个位置，而图形本身不发生变化。

2）比例变换。若点的x、y坐标分别乘以S_x和S_y，可得到新的点，如图2-4所示。这种变换称为比例变换，S_x和S_y为两坐标方向上的比例系数。比例变换的关系式为

图2-4 图形的比例变换

a）原来的点 b）新的点

比例变换有多种用途，当S_x=S_y时，可把图形放大或缩小；当S_x≠S_y时，产生的效果相当于把图形沿平行于坐标轴的方向拉延或压缩，使图形发生变形，如图2-5所示；当S_x或S_y为负值时，变换后的图形与变换前的图形相对于x轴或y轴对称，即可产生图形的镜像。

如图2-6所示为当S_x=-1，S_y=1时产生对y轴的镜像。当S_x=S_y=-1时，镜像对称于坐标系原点。通过变换产生原图形镜像的变换又称为反射变换。

图2-5 利用比例转换使图形发生变形

a）变换前 b）沿x轴方向拉延 c）沿y轴方向拉延

图2-6 利用比例变换产生对称图形

a）变换前 b）对y轴的反射变换

3）旋转变换。图形绕坐标原点旋转某一角度生成变换后的图形，这种变换称为旋转变换。

设点P（x，y）绕原点O顺时针方向旋转θ角后达到P′（x′，y′），则

x′=xcosθ+ysinθy′=-xsinθ+ycosθ

图2-7所示为三角形绕坐标原点顺时针旋转45°的变换情况。三角形的顶点坐标分别由原来的（20，0）、（60，0）、（40，100）变为（14.14，-14.14）、（42.43，-42.43）、（98.99，42.43）。

图2-7 图形的旋转变换

a）变换前 b）变换后

（2）变换的矩阵表示

1）齐次坐标。对点向量[xy]和[x′y′]引入第三分量，使它们成为[xy 1]和[x′y′1]。位置向量[xy 1]和[x′y′1]中的第三元素1，可看做一个附加坐标，即平面上的一个点（二维向量）用3个坐标（三维向量）来表示。这种用三维向量表示二维向量，或用n+1维向量表示n维向量的方法称为齐次坐标表示法。在齐次坐标表示法中，n维向量的变换是在n+1维空间内实现的。在n+1维齐次空间中的一个向量可看做一个n维空间中的向量多了一个比例因子H。通常笛卡儿坐标系中的二维点[xy]的齐次表达式是[HxHyH]，其中H≠0。于是，给出点的齐次表达式[XYH]，就可以得到二维笛卡儿坐标，即

这个过程称为正常化处理。

用齐次坐标时不存在位置向量的唯一表示。例如，齐次坐标[15 9 3]，[-30-18 -6]和[5 3 1]都表示笛卡儿坐标点（5，3）。在二维变换中，为简单起见，令H=1。此时二维坐标点（x，y）的齐次坐标表示为[xy 1]，其中x、y坐标没有变化，只是增加了H=1的一个附加坐标。在几何意义上，相当于把发生在三维空间的变换限制在H=1的平面内。

2）变换矩阵。如果点的位置向量用齐次坐标表示，那么平移变换矩阵、比例变换矩阵和旋转变换矩阵将分别采用如下形式。

平移变换矩阵

比例变换矩阵

旋转变换矩阵

若对点[xy 1]进行平移变换，则有

当S>1时，对点的位置向量进行如下变换，可使两个坐标同时缩小。即

以上3种变换都具有可逆性，即

（3）变换的级联图形除了需要进行以上所讨论的一些简单变换外，还需要进行更复杂的变换。例如，图形绕任意点旋转，可以通过3个简单变换来实现，即平移→旋转→平移。一系列的简单变换（变换顺序）可以通过级联组合成一个变换。

在对变换序列进行级联时，顺序问题十分重要。例如，将图2-8a所示三角形旋转90°，然后平移T_x=-80，T_y=0，变换后的情形如图2-8b所示。若将变换次序颠倒，则得到的图形如图2-8c所示。

图2-8 不同变换顺序产生的结果

a）变换前 b）旋转—平移 c）平移—旋转

级联的目的是将一个变换顺序表示成一个变换。假设点P经过n次变换T₁，T₂，T₃，…，T_n，则总的变换结果为

P′=PT₁T₂…T_n-1T_n=PT

所以，总的变换矩阵

T=T₁T₂…T_n-1T_n

例　求绕平面上任意点旋转的变换矩阵，如图2-9所示。

图2-9 绕平面上任意点的旋转变换

a）绕O点旋转θ角 b）平移 c）旋转 d）平移

绕平面上任意点C（x_c，y_c）的旋转是一个组合变换。可以通过下列步骤实现：首先将旋转中心平移到坐标原点；然后进行旋转变换；最后再平移变换，恢复原坐标系。通过以上3种变换的有序级联，可求得其组合结果，即总的变换矩阵为

2.三维图形变换

前面所讨论的二维变换扩展到三维时，三维点的位置向量齐次坐标表示为[xyz 1]，齐次变换矩阵是4×4方阵，即

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因此，三维空间点的变换可写为

[XYZH]=[xyz 1]T

正常化处理后的坐标为

下面介绍一些基本的三维变换。

（1）平移变换把点（x，y，z）平移到新点（X，Y，Z）的变换为

式中，T_x、T_y、T_z分别为在x、y、z坐标轴方向上的平移分量。

（2）比例变换用比例变换可以分别调节每个坐标方向上的大小。

均匀缩放图形大小的变换为

正常化处理

若S>1，则整个图形缩小；若S<1，则整个图形放大。

（3）旋转变换

1）绕坐标轴旋转变换矩阵。绕z轴旋转角θ_z角，如图2-10a所示，变换矩阵R_z为

绕y轴旋转θ_y角，如图2-10c所示，变换矩阵R_y为

绕x轴旋转θ_x角，如图2-10b所示，变换矩阵R_x为

图2-10 绕3个坐标轴的旋转

2）绕空间任意轴的旋转变换。图形绕空间任意轴（不通过坐标原点）的旋转，可以用组合变换实现。首先把坐标原点移到旋转轴上；然后绕x和y轴旋转，使旋转轴与z轴重合，这样图形绕任意轴旋转θ角就转化为绕轴z旋转θ角；最后，绕y轴和x轴作相反方向的旋转及平移，恢复原坐标系，如图2-11所示。

用直线上的一点和该直线的方向来定义空间任意轴，这样，点的位置向量可提供平移信息，而直线的方向可提供使它旋转到与z轴重合的正确角度。设给定直线的参数方程为

x=Aμ+x₁y=Bμ+y₁z=Cμ+z₁

在直线上的一点是（x₁，y₁，z₁），直线的方向由[ABC]向量定义。其变换序列如下：

①移动原点到旋转轴上的平移变换矩阵为

图2-11 绕空间任意轴的旋转变换

a）原状 b）平移至原点 c）绕x轴旋转至Oxy平面 d）绕y轴旋转，使旋转轴与z轴重合 e）绕z轴旋转返回 f）绕y轴旋转返回 g）绕x轴旋转返回 h）平移返回

②绕x轴旋转直到旋转轴位于Oxz平面内。为了确定所需的旋转角度，把直线的方向向量置于新坐标系的原点上，如图2-12所示，研究它在Oyz平面上的投影。因平移的结果使原点（0，0，0）处于旋转轴上，所以在（0，0，0）和（A，B，C）之间的线段L必须在旋转轴上。L在Oyz坐标面上的投影是从（0，0，0）到（0，B，C）之间的线段l′。