希尔伯特变换与标准希尔伯特变换的区别和应用

信号瞬时频率的定义是基于它的解析形式，信号的解析形式定义基于希尔伯特变换。对于实信号x（t），其希尔伯特变换y（t）定义为

其中，P表示柯西主值，x（t）的解析形式z（t）定义为

其中，a（t）是瞬时幅值，θ（t）是瞬时相位，分别如下：

瞬时频率f（t）定义为瞬时相位函数的导数，即

希尔伯特变换解调是一种有效和常用的解调方式，通过对原始信号进行希尔伯特变换解调可以得到信号的瞬时特征和时频分布信息等，但希尔伯特变换要受到Bedrosian定理的限制[129]，即对于形如x（t）=a（t）cosφ（t）的单分量信号，对其进行HT的必要条件是信号是窄带的单分量信号：(www.xing528.com)

且a（t）与cosφ（t）的频谱不重叠[145]。因此对于非窄带的信号，HT则无法估计精确的瞬时频率。不仅如此，式（5.3）和式（5.4）估计的瞬时频率未必是信号的真实频率，其条件是信号x（t）的解析形式z（t）的虚部应等于x（t）的正交信号xq（t）[与x（t）有90o转相差]，但事实情况如Nuttall定理指出，x（t）的希尔伯特变换y（t）并不一定等于xq（t），二者之间存在差异，这一差异可以通过能量误差指标来衡量，即

其中，Fq（ω）为xq（t）的傅里叶变换。Bedrosian和Nuttall定理表明应用HT估计信号的瞬时特征要受到一定的限制，尤其是对于较复杂的信号[145]。

对于有些瞬时频率不是常函数的信号，其HT会出现负频率，而且在端点处由于产生能量泄漏，因此，具有严重的端点效应。基于此，Huang等基于一种单分量信号的标准化过程，提出了标准希尔伯特变换（NHT），即对于一个实信号，首先对其进行AM-FM形式分解，得到包络部分和纯调频部分，由于纯调频部分的瞬时幅值为常数，不再受Bedrosian定理的限制，再对其希尔伯特变换即可得到信号的瞬时相位和瞬时频率。NHT虽然克服了HT出现负频率的缺陷，但是在端点处仍会产生能量泄漏，端点效应仍无法避免。