GIMF的判断依据及GEMD分解能力研究

GEMD最初的判断依据是采用频率带宽最小来选择GIMF分量。频率带宽反映瞬时频率的调制和波动，频率带宽越小，表明瞬时频率受调制越小，波动越小。当瞬时频率为常函数时，带宽准则能够很好反映瞬时频率的聚集性，若非常函数时，带宽准则失去了预期的结果。此时，采取如下改进方案选择GIMF：

（1）采用标准希尔伯特变换估计六个pre-GIMF分量的瞬时频率φ′i（t），其中i=1，2，…，6；

（2）提取φ′i（t）的线性趋势项pi（t），即φ′i（t）=pi（t）+ri（t），i=1，2，…，6；

（3）计算并返回i=argmin{E（ri（t）），i=1，2，…，6}，E（·）表示信号的能量；

（4）第i个pre-GIMF作为最终的GIMF。

若瞬时频率的趋势项为线性或多项式函数，此时频率带宽准则中ω[]=∫φ′（t）a2（t）dt为中心频率则反映了频率在中心频率附近的波动情况，由于瞬时频率非恒常的，此时物理意义不明显。而改进后的方法，瞬时频率去趋势后剩余部分的能量反映了瞬时频率的波动情况，能量越小，说明瞬时频率的波动越小。原GIMF判断依据中通过带宽准则选择GIMF，而改进后的判断依据弥补了带宽准则的不足，从不同的IMF分量中选择瞬时频率更精确、带宽更小的分量作为最优，相邻的GIMF分量带宽无重叠或者重叠更小，因此分解正交性更好。此外，由于GEMD是从每层不同的IMF分量中选择最优，若EMD能将待分解信号分解出，则GEMD也一定能分解出；若EMD不能分解出，而其他方法定义的均值曲线，如LCM或LIM可以分解出，则GEMD也能分解出；只有所有的均值定义方法不能分解出时，GEMD才不能分解出，因此，理论上GEMD的分解能力要比EMD强。

文献[115]以简化的两个正弦信号的叠加模型为例，对EMD方法的分解能力进行了详细的研究。为了对比分析，本文仍考虑两个余弦信号叠加模型：

其中，φ表示两信号的初相位差，a表示两信号幅值比，f（0＜f＜1）表示低频谐波与高频谐波的频率比。由于初相位对分解能力几乎没有影响[116]，为简便，令φ=0。

定义评价指标(www.xing528.com)

其中（t；a，f）表示GEMD分解得到的第一个分量，n表示设定的迭代次数，设置n=6。δ（a，f）=0（δ（a，f）≤0.05）说明GEMD可以将高频分量cos2πt完全分解出来；δ（a，f）=1说明GEMD将x（t）视为一个GIMF分量；δ（a，f）取其他值则认为GEMD不能将两个谐波分开。此外，分解效果还与采样频率fs有关，一般要求fs远远大于信号的最高频率fmax，设定fs=512 Hz，fmax=50 Hz。

EMD和GEMD的分解能力分别如图3.20和图3.21所示。需要说明的是，图3.18中EMD可分解的分界频率（设为fc）与文献[115]有所差异，这主要是因为采样频率fs以及fs与最大频率fmax的关系对分解效果的影响[117，118]。由图3.20和图3.21可以发现，在相同的采样频率和最大频率、相同的最大迭代次数（8次）等条件下，GEMD的分解能力范围要明显大于EMD的分解能力范围。在幅值比a≥1时，曲线af2=1可视为不可分解部分的下边界，af=1可视为可分解部分的上边界。但在二者曲线之间的部分，GEMD的可分解部分仍大于EMD的可分解部分。此外，在幅值比0.1≤a≤1时，GEMD能分解出频率更接近的信号。更详细地，

（1）当0.1≤a＜0.2时，GEMD可分解边界频率fc≈0.6，而EMD可分解边界频率fc≈0.4；

（2）当0.2≤a＜0.6时，GEMD可分解边界频率fc≈0.7，而EMD可分解边界频率fc≈0.5；

（3）当0.6≤a≤1时，GEMD分解边界频率fc≈0.77，而EMD可分解边界频率fc≈0.55。

图3.20　两个谐波叠加模型的EMD的分解能力图

图3.21　两个谐波叠加模型的GEMD的分解能力图