Vague集评价的方法与应用

经典集合论对计算机科学与技术的发展做出了巨大的贡献。然而,在处理具有模糊特征的信息和数据时却遇到了困难。20世纪60年代初,Zadeh在围绕检测、决策、控制及有关的一系列问题的研究中,发现了经典集合论的这一局限性,并于1965 在杂志 《Information and Control》发表著名论文Fuzzy Sets,为模糊集合理论的发展奠定了重要基础。此后,模糊集合理论的发展十分迅速,学习和研究并应用模糊集理论的学者越来越多,模糊理论也日臻完善,其应用也日益广泛。

模糊集理论在处理具有模糊特征的信息时,打破了经典集合论的局限性,模糊集合论的研究对象由确定性对象扩展到模糊性对象,但模糊集理论中重要的概念——某一元素的隶属度,既包含了支持这一元素的证据,也包含了反对这一元素的证据,它不可能表示其中的一个,也不可能同时表示支持和反对的证据。针对模糊理论存在的这一问题,Gau提出了Vague集理论,该理论是模糊集理论的一种推广形式,Vague集理论作为一个新的不确定信息处理理论,已被成功地应用到了决策分析、专家系统、模糊控制、近似推理等众多领域。Vague集理论的最主要的优点是对元素隶属度分解成正反两个方面来研究,是传统模糊集理论所不可及的。

1.Vague集概念

定义1:设论域X = (x1,x2,…,xn),X 上Vague集A 由真隶属函数tA和假隶属函数fA所描述,tA∶X →[0,1],fA∶X →[0,1],其中,tA(xi)是由支持xi的证据所导出的肯定隶属度的下界,fA(xi)则是由反对xi的证据所导出的否定隶属度的上界,且tA(xi)+fA(xi)≤1。元素xi在Vague集A 中的隶属度被区间[0,1]的一个子区间[tA(xi),1-fA(xi)]所界定,称该区间为xi在A 中的Vague值,记为vA(xi)。

对Vague集A,当X 离散时,记为

当X 连续时,记为

∀x∈X,称πA(x)=1-tA(x)-fA(x)为x 相对于Vague集A 的Vague度,它刻画了x 相对于Vague集A 的踌躇程度,是x 相对于A 的未知信息的一种度量。πA(x)值越大,说明x 相对于A 的未知信息越多。显然,0≤πA(x)≤1。由上可知,x 相对于A 的隶属情况应具有三维表示[tA(x),fA(x),πA(x)]。

对Vague集的解释:例如设vA(x)= [0.6,0.7]

则

此时可解释为,元素x 属于A 的程度是0.6,不属于A 的程度是0.3,x对A 的踌躇程度是0.1,用投票模型来解释为:赞成6票,反对3票,弃权1票。

2.Vague集之间的相似度量

在投票模型中分别由表示赞成、反对和弃权三部分组成,当考虑弃权因素后,则可定义如下两Vague集之间的相似度量。

定义2:设论域X= (x1,x2,…,xn),A、B 为X 上的两Vague集,其中

定义A 与B 之间的相似度量如下

其中

特别,若A,B 为X 上的Zadeh模糊集,则

于是

此时式(7-3)简化为

度量函数T(A,B)有如下性质:

(1)0≤T(A,B)≤1。

(2)T(A,B)=T(B,A)。

(3)T(A,B)=1⇔A=B。

如考虑元素xi在X 中的权重为ωi(i=1,2,…,n),其中ωi∈[0,1],且,定义A 与B 之间的加权相似度量为

式中,其他符号如式(7-4)所示。

同样,可得函数W(A,B)有以下性质:(www.xing528.com)

(1)0≤W(A,B)≤1。

(2)W(A,B)=W(B,A)。

(3)W(A,B)=1⇔A=B。

3.Vague集的运算与关系

定义3:设Vague值x= [tx,1-fx],y= [ty,1-fy],其中tx、fx、ty、fy∈[0,1],且tx+fx≤1,ty+fy≤1。定义Vague值的运算与关系为

4.Vague集的模糊多目标决策方法

设决策矩阵X 为

式中 xij——第j方案的第i个指标值,i=1,2,…,m；j=1,2,…,n。

确定目标优属度,方法有很多,通常对于效益型目标,其相对优属度

对于成本型目标,其相对优属度

对于固定型目标,其相对优属度

将式(7-9)的决策矩阵X 变换为目标优属度矩阵μ= [μij]m×n,根据矩阵μ 来定义方案的支持目标集、中立目标集和反对目标集如下:

定义4.1:f(x)= [f1(x),f2(x),…,fm(x)]T是表示m 个目标的向量函数,若决策空间由有限个决策变量组成,即X= (x1,x2,…,xn)。

(1)如果μij≥λU(决策者能够接受的满意度的下界),则第i个目标函数对于第j 个方案是满意的,或称第j个方案是支持第i 个目标函数的 (i=1,2,…,m；j=1,2,…,n)。

(2)如果μij≤λL(决策者能够接受的不满意度的上界),则第i个目标函数对于第j 个方案是不满意的,或称第j个方案是反对第i个目标函数的(i=1,2,…,m；j=1,2,…,n)。

(3)如果λL≤μij≤λU,则第i个目标函数对于第j 个方案是中立的,或称第j个方案对第i个目标函数既不支持也不反对(i=1,2,…,m；j=1,2,…,n)。

定义4.2:称满足:

5.方案的Vague估计

一般地,支持目标集中包含目标越多的方案越好,利用Vague集的相关理论来对每个方案进行Vague估计,选出最优方案。

定义5:设目标的权重向量为ω= (ω1,ω2,…,ωm),对于任意一个方案xj∈X,它在m 个目标上满足决策者要求的程度可用一个Vague值来表示,即

因此,每个方案对应着一个Vague 值,文献中定义了一个评分函数score(x)来度量方案对于决策者需求的适合程度。

定义6:设x=[t(x),1-f(x)]为一Vague值,这里t(x)∈[0,1],f(x)∈[0,1],t(x)+f(x)≤1,定义函数score(x)=t(x)-f(x)。

显然score(x)∈[-1,1],由上述定义可知,评分函数score(x)的值越大,方案对于决策者需求的适合程度就越大,因此,可以根据这个评分函数来对方案进行排序,进而选出最优方案x*,满足score(x*)=