水资源系统安全的本构关系探讨

前面我们分析了在“人”的作用下水资源系统在安全状态时的 “力与力”的关系与安全度量的“变形与变形”关系,下面主要分析描述在安全状态下水资源系统的“力”与安全度量的关系,即“力”与“变形”的关系,在近代的术语中称为“本构关系”。

为了适当地描述系统的本构关系,必须事先要求它们满足某些物理和数学的要求,这些要求成为本构公理。弹性物质本质上是一种热力物质。当我们考虑的是热力物质时,则需要八个本构公理来规范本构方程。笔者在此通过运用热力学基本定律与应变能密度的基本理论来分析系统在外界因素作用下会发生运动和变形,以建立水资源安全系统的本构关系。

现在,设从物体中某点处任意取出一微元体,其体积为v,表面积为s。若采用张量的记号。设在直角坐标系Ox1x2x3中,位移矢量U =u1i1+u2i2+u3i3=uiii,因而速度和加速度矢量分别为˙U=˙ui˙ii,¨U=¨ui˙ii,并设体积力密度和作用在s上的表面力密度分别为f=fiii,F=Xiii,式中ii为坐标轴Oxi的单位矢量。众所周知,物体在外力作用下的功能转换关系是由热力学定律来描述的,下面,将从热力学定律出发来推导系统弹性状态的本构关系。

一般地,热力学过程分为可逆过程和不可逆过程。在可逆过程中,外力对物体所做的功全部转化为物体的动能和物体因变形而具有的内能；在不可逆过程中,外力对物体所做的功,一部分转化为物体的动能和内能,另一部分转化为热能、声能等,被消耗掉了。本次研究的是系统的安全状态,即弹性状态,认为除去外力后物体的变形可以完全恢复,所以仅分析可逆过程。

弹性体在外力作用下的变形过程有两个极端的情况,一种是等温过程,另一种是绝热过程。在等温过程中,弹性体的加载过程极其缓慢,弹性体有充分的时间和外界进行热交换,故弹性体的温度保持不变。在绝热过程中,弹性体的加载过程很快,系统来不及和外界进行热交换,从而使变形过程为绝热的。实际上,弹性体的变形过程介于等温过程和绝热过程之间。

现在,考察作用于微元体上的体积力f 和表面力F 在单位时间内所做的功,采用张量的记号。有

设系统的密度为ρ,则微元体的动能为

因而,单位时间内动能的变化率为

设物体的内能密度为W,则

一般地,W 除了与应变和温度有关之外,还与温度的梯度以及变形历史有关,由于我们考虑的弹性问题,所以W 只是应变和温度的函数。

现在,考察表面力F 的功率。由式(6-24)可得

其中nj=cos(n,xj)为表面s的外法线n 对于坐标轴oxj夹角的余弦。

根据

两端同时对时间求导,得到应变率张量和侧动率张量

从而,由式(6-29)、式(6-26)和式(6-30)可得

注意到式(6-28),进一步可得到(www.xing528.com)

因为,此式对系统内某点处的任意微元体都成立,从而得

式中 ˙εij——应变张量对时间的变化率,称为应变率张量。

若固定点(x、y、z),则d t时间内单位体积内的内能密度W 的动态变量为

由于内能是状态函数,因而,若将式(6-33)对时间t从时刻t0至时刻t积分,则积分值只与终止状态和初始状态有关,而与积分路径无关,这表示是全微分。从而,若令初始状态的内能W=0,则得到

从而,可得

显然,式(6-35)给出了水资源弹性系统的应力应变关系。从推导过程可见,W 表示为了克服物体内各质点间的相对变形,应力分量在相应变形分量上所做的功,这个功以能量的形式储存于物体内部,当外力除去后,该能量将被释放出来时物体恢复其原来的形状,我们称W 为单位体积的应变能密度,或简称为应变能密度。这样,由热力学第一定律出发,我们证明了处于绝热过程中的弹性物质存在应变能密度W,它是应变分量的函数,并且W 对应变分量εij的偏导数等于相应的应力分量,即有式(6-35)成立。

由式(6-35)可知,弹性物质存在应变能密度W,它对应变分量εij的偏导数即给出相应的应力分量σij。于是有

称fr(εij)为本构函数。

因为考虑的是安全的变形理论,可将fr(εij)在εij=0附近展开,得到

式中 Cmn——弹性系数,m,n=1,2,…,6。

如果按假设水资源安全系统是一球体,于是Ox、Oy、Oz轴均为系统主轴,则

因此,在这种情况下,有如下本构关系

或

这就是水资源安全系统“人”作用的“力”与水资源安全度量“变形”的本构关系。

上述的分析看到水资源安全系统在 “人”的作用下会发生运动和 “变形”,为了阻止这种 “变形”,在系统内伴随着一种内力,这就是应力。在系统变形过程中,应力在相应应变上所做的功以一种能量的形式存贮于弹性体中,这种能量就是应变能。当外力除去后或外力做的功小于应变能,应变能便释放出来使系统恢复其原来的形状,这就是水资源安全系统的安全性。对于水资源安全系统在安全状态下的平衡问题、协调问题、本构问题,统一构成水资源安全系统在安全状态下的空间问题,它表现出水资源安全系统在安全状态时的机理。