水资源安全与多元需求的协调性

有力的作用就有力作用下的变形,就有力的作用下系统安全与不安全的问题。上面我们分析了水资源系统的内力平衡问题,若是给定6个应变分量εij,我们要问是否存在与εij相对应的单值连续的位移场? 从数学的角度而言,当已知εij时,偏微分方程为

这是一超定方程组,一般不具有对3个未知量ui的解,除非εij满足某些可积性条件。这些可积性条件是包含εij的一组偏微分关系,它们被称为相容性条件,或称为水资源安全系统的安全(变形)协调条件或安全(变形)连续性条件。

从物理上讲,由于我们分析系统的变形时采用的是微元体方法,即将系统用平行于坐标面的3簇平行平面将系统分割成许多微元体 (直平行六面体),然后研究每一个这种微元体的变形,从而得到长度和角度的变化,并得到它们与位移的关系式,见式(6-8)。在研究弹性问题时,因为系统变形前是连续的,所以变形后仍应保持连续。这样,为使这些微元体变形后仍保证系统是连续的,微元体的变形不能是任意的,而必须满足某些约束条件,这些条件就是系统安全(变形)的相容性条件(因为系统的变形与安全是一致的,安全可以通过变形这一尺子进行丈量)。因此,这些条件也就是水资源系统的相容性条件。当相容性条件不被满足时,相应的位移场不是单值的,于是,系统可能发生错位、裂隙等不连续性。系统的安全性就出现危险,或系统就出现安全性问题。

现在我们分析相容性条件。在弹性体内任一点P,可沿坐标正向取微分线段d x、d y、d z,其变形安全分量用u、v、w 表示。当弹性体发生变形时,这些微分线段一方面要发生长度的变化。但由于假定长度的变化与侧动很小,故线段d x、d y、d z变形后的长度可近似取为其在x、y、z轴上的投影长度d x+于是,就有应变分量εij和位移分量ui的关系如下

首先,通过对式(6-9)直接求导可得同一坐标平面上应变分量之间的关系,例如,由

可得

同理可得

下面,推导不同坐标平面内应变分量之间的关系,例如,由

于是可得

同理可得

因此,为保证系统在“人”的作用下变形后仍为安全体,应变或系统的安全分量εij之间必须满足关系式(6-10),式 (6-10)便是水资源系统安全的相容性方程或安全协调条件。

下面采用张量分析进一步形象分析水资源系统的安全协调条件,如图6-9所示,若采用张量的记号,相容性方程式(6-10)可缩写成

式中 “,”——表示对其后的下标求偏导数。

以下将证明对于单连通区域V,当变形协调条件式 (6-10)被满足时,偏微分方程组

的单值积分存在,并且若设~ui为式(6-12)的任意一个解,则式(6-12)的通解可表示成形式

式中 ——与坐标xk无关的反对称张量,代表点M0处的刚性侧动；

——与坐标xk无关的矢量,代表点M0处的刚性平动。

图6-9　水资源安全张量协调性分析图

因此,由式 (6-13)可知,与εij相应的位移场是单值的,并且在相差一个刚性运动的范围内是惟一的。

设已知应变量,要由式 (6-12)来求位移变量u,v,w。我们假设系统所占区域V 是单连通的,即在区域V 内所作的任意闭围线可以由不越出域外的连续变化而收缩于一点,球体就是单连通域。在区域V 中任取一固定点M0(x0,y0,z0),设在此点的位移分量u0,v0,w0以及3个侧动量为p0,q0,r0都是已知的,我们要决定区域V 中另一点

M1(x1,y1,z1)处的位移分量u(x1,y1,z1),v(x1,y1,z1),w(x1,y1,z1)。

其中

因为

则(www.xing528.com)

因而

由于εij给定,所以上式中第一个积分内的被积函数是已知的,而第二个积分可以写成

利用分部积分可得

其中q0≡q(x0,y0,z0),r0≡r(x0,y0,z0),而

因为

将式(6-18)代入式(6-17)后再代入式(6-16),并将所得的公式代入式(6-15),合并之后得到

同理可得

其中

已知

显然式(6-19)实际上是式 (6-13)的扩展形式,由式 (6-19)还看到,u、v、w 只是点M1的坐标x1、y1、z1的函数,因此它们与积分路径M0M1无关。对于单连通区域,式 (6-19)中的积分与路径无关,当且仅当下列条件成立

将式(6-20)中的Ux、Uy、Uz,Vx、Vy、Vz,Wx、Wy、Wz代入上式,并注意到(x1、y1、z1)任意性,则再次得到系统安全协调条件式(6-10)。从而,亦进一步了解了相容性条件的意义,它是保证系统受力变形后的不发生破坏或不安全等不连续现象的充分条件。于是,可知当系统所占区域V 为单连通区域时,系统受力变形后仍为安全的充分必要条件是应变分量εij满足变形协调条件式(6-10)。

如果把上述按水资源安全系统的球体来分析,取球坐标系如图6-10所示。

图6-10　水资源安全系统球体协调性分析图

设在该坐标系中,P 点的位移矢量为U,它在该点处r方向、θ方向和φ 方向的分量分别记为ur,uθ,uφ；并记rot U=ω的相应分量于是,若令球坐标系中的应变分量为

或

并且,侧动张量为

于是,有如下几何关系:

(1)安全分量与变化分量的关系

(2)侧动分量与变化分量的关系

(3)安全协调方程