提高比例导引脱靶量解析解的精度

与利用伴随法或打点法的仿真研究不同， 在进行脱靶量解析研究时， 制导动力学不宜过于复杂， 以便于理论求解。 本小节依然以一阶制导动力学为例， 来讨论比例导引脱靶量的解析解。 此处比例导引通过开关变量KAPN， 引入目标机动补偿项； 当KAPN ＝1 时， 制导律为增强比例导引， 当KAPN ＝0 时，制导律退化为比例导引。 增强比例导引的制导框图如图1.10 所示， 利用伴随法原理， 其伴随模型变换过程如图1.11 所示。

图1.10　考虑目标常值机动的增强比例导引制导框图

图1.11　增强型比例导引的伴随模型变换过程

（a） 伴随法模型变换： 单位阶跃输入变脉冲输入；（b） 伴随法模型变换： 框图变换简化；（c） 伴随法模型变换： 输入变输出、 输出变输入；（d） 伴随法模型变换： 伴随模型简化

图1.11　增强型比例导引的伴随模型变换过程（续）

图1.11 （a） ～（d） 表示了制导系统到伴随系统的转化过程， 图1.11（d） 为最终的伴随系统， 其中MHE 为初始瞄准误差引起的脱靶量， MAT 为目标机动引起的脱靶量， MYT 为目标单位阶跃位置误差引起的脱靶量。 APN为制导律的标志量， 当APN ＝1 时， 制导律为增强型比例导引； 当APN ＝0时， 制导律为比例导引， 这样通过标志量APN 的设置将比例导引和增强型比例导引统一起来［18］。

由图1.11 （d） 知， 通过卷积的积分可以得到伴随系统输入和输出的关联表达式

通过Laplace 变换中的复微分定理， 将式（1.96） 转换到频域， 得到

同时， 我们知道

联立式（1.97） 和式（1.98）， 得到

对式（1.99） 进行积分， 得到

其中， c 为常数。 为了得到c 的值， 根据图1.11 （d）， 目标单位阶跃位置误差引起的脱靶量MYT 可以表示为

我们知道， 在时域上， 在t ＝tF 时， 目标单位阶跃位移引起的脱靶量为1，利用Laplace 变换中的初值定理， 得到

联立式（1.100） 和式（1.102）， 得到

根据图1.11 中传函W（s）的定义可知

因此得到

将式（1.105） 代入式（1.103）， 得到c ＝1。 这样， 式（1.100） 可表示为(https://www.xing528.com)

根据图1.11 （d）， 幅值为aT 的目标阶跃机动引起的脱靶量可以表示为

当n ＝0， 即有效导航比N 为3 时， 有

表示成脱靶量的时域形式为

基于同样的算法， 可以得到n 为1、 2、 3 时或N 为4、 5、 6 时脱靶量的表达式， 如表1.1 和表1.2 所示， 其中， 表1.1 为脱靶量的频域表示， 表1.2为脱靶量的时域表示。

在表1.2 中， 若令APN ＝0， 则其表示的是比例导引脱靶量的解析解； 若令APN ＝1， 则其表示的是增强型比例导引脱靶量的解析解。

表1.1　目标机动引起的脱靶量频域解析式

表1.2　目标机动引起的脱靶量时域解析式

同样， 根据图1.11 （d）， 初始瞄准误差引起的脱靶量的表达式为

不同n 或N 对应的脱靶量分别表示成频域、 时域的形式， 如表1.3、表1.4 所示。

表1.3　初始瞄准误差引起的脱靶量频域解析式

表1.4　初始瞄准误差引起的脱靶量时域解析式

以图1.11 （d） 的伴随系统为基础， 结合表1.2、 表1.4， 进行伴随法和解析解二者的对比仿真分析。 对常值机动目标， APN 分别设为0 和1， 仿真步长为0.000 2 s， 仿真结果如图1.12 ～图1.14 所示。 图中的横轴为tF／Tg， 纵轴分别为MAT／（aTT2g）、 MHE／（ -VMεTg）。

仿真结果表明， 伴随法仿真结果与解析解完全一致， 验证了上述解析解的正确性。 tF／Tg 越大， 脱靶量越小， 即末导时间越长或制导动力学滞后时间常数越小， 脱靶量越小。 而随着权函数指数n 的增大（即有效导航比N 增大）， 当末导时间较短时， 脱靶量峰值减小； 但当末导时间足够长时， 脱靶量均能收敛到零。 与比例导引相比， 在不考虑过载饱和限制时， 增强型比例导引在降低常值目标机动引起的脱靶量方面的优势并不显著； 增强型比例导引的优势在于， 对常值机动目标且不考虑制导动力学时， 它的初始过载指令最大而末端过载指令最小， 而此时比例导引的表现恰恰相反， 这在制导律的实际应用中是非常重要的（图1.15）。

图1.12　目标机动引起的比例导引无量纲化脱靶量（APN ＝0）

图1.13　目标机动引起的增强比例导引无量纲化脱靶量（APN ＝1）

图1.14　初始瞄准误差引起的比例导引无量纲化脱靶量

图1.15　目标常值机动驱动下比例导引与增强型比例导引的无量纲过载对比曲线