指定终端约束条件的二次型最优控制解析表达及比例导引证明

针对方程（1.1） 所示的系统， 其初值和终端约束条件表示为

我们期望找到控制u（t）使式（1.17） 最小， 即

将终端限制条件通过乘以（v1，…，vp） ＝vT 的形式加入式（1.17） 中，得到

上述问题的Euler-Lagrange 方程为

将式（1.20） 代入式（1.1） 中， 得到两点边界值问题

其中， 初值x（t0） 给定， xi（tF） 为指定值（i ＝1， …， p）， λi（tF） 的终端条件为如下形式：

式（1.21）、 式（1.22） 所描述的两点边界值问题可以通过“sweep meth⁃od” 来解决［30］， 但需对 “sweep method” 进行扩展。 假设指定的边界值［x1…xp］t ＝tF为x（t0） 和（v1， …， vp） 的线性函数， 表示成如下形式：

其中

从式（1.21） 及其边界值可以看出， λ（t0）也是x（t0）和ψ 或x（t0）和v的线性函数， 表示为

由于在t ≤tF 的任何时刻都可能是初始时间， 因此式 （1.23） 和式（1.26） 可以改写成如下形式：

式（1.27） 和式（1.28） 的关系在t ＝tF 时刻也必须有效， 因此还必须满足如下关系：

由于式（1.33） 对任何x 和v 都要成立， 因此x 和v 的系数都必须为零， 即

以时间t 为自变量对式（1.27） 进行求导， 同样将ψ 和v 看作常数矢量，得到

由于式（1.37） 对任意x 和v 也都要成立， 因此x 和v 的系数都必须为零， 那么有

检查式（1.35） 和式（1.38）， 结合边界条件式（1.30）， 得到（S 为对称矩阵）

因此， 式（1.39） 又可写成

在某些特殊的初始时刻t ＝t0， 如果G（t0） 非奇异， 根据式（1.27）， 处理得到

将式（1.42） 代入式（1.28） 中， 求解得到(www.xing528.com)

令t0 ＝t， 则

联立式（1.20） 和式（1.44）， 求解得到最优控制

当v ＝0 时， 表示目标函数（1.18） 中没有终端状态限制项， 那么根据式（1.27） 和式（1.40）， 得到v ＝0 时的ψ 值为

也就是说， 如果J 是没有终端限制的最小值， 则FT（t）x（t）是ψ 的预测值。 此时， 式（1.45） 可写成

目标函数式（1.17） 的一种特殊情况是Q ＝0， 则目标函数退化为“使控制量的平方的积分最小”， 亦即为

系统的状态方程、 状态变量的初始条件和终端条件如式（1.1）、 式（1.16）所示， 由于矩阵Q ＝0， 因此式（1.34） 所示的Riccati 方程的解为

这样， 式（1.35） 和式（1.41） 又可简写为

这样， 式（1.47） 的最优控制又可写成

下面利用上述二次型最优控制的解析结果来推导经典的比例导引。

同样， 针对系统方程式（1.9）， 将式（1.48） 的目标函数定义为如下形式：

根据方程（1.9） 中的终端状态描述， 将终端约束表示成如下的矩阵形式：

若仅约束y（tF） ＝yF ＝0， 则矩阵D、 E 分别为

根据最优控制理论， 上述控制问题的最优解可表示为

式中

将矩阵A、 B 代入式（1.56）、 式（1.57）， 则最优制导律的表达式为

其中， tgo ＝tF -t， 表示剩余飞行时间（time-to-go）。