模态分析基本原理

工程实际中的振动系统都是连续弹性体，其质量与刚度具有分布的性质，只有掌握无限多个点在每瞬时的运动情况，才能全面描述系统的振动。因此，理论上它们都属于无限多自由度的系统，需要用连续模型才能加以描述。但实际上不可能这样做，通常采用简化的方法，归结为有限个自由度的模型来进行分析，即将系统抽象为由一些集中质量块和弹性元件组成的模型。如果简化的系统模型中有N个集中质量，一般它便是一个N个自由度的系统，需要N个独立坐标来描述它们的运动，系统的运动方程是N个二阶互相耦合（联立）的常微分方程。

一个结构的动态特性可由n阶矩阵微分方程描述：

式中，f（t）为N维激振力向量；x、、分别为N维位移、速度和加速度响应向量；M、C、K分别为结构的质量、阻尼和刚度矩阵，通常为实对称N阶矩阵。

设系统的初始状态为零，对式（19-1）两边进行拉普拉斯变换，可以得到以复数s为变量的矩阵代数方程：

[Ms²+Cs+K]X（s）=Z（s）X（s）=F（s） （19-2）

式中，Z（s）=[Ms²+Cs+K]反映了系统的动态特性，称为系统动态矩阵或广义阻抗矩阵。其逆矩阵

H（s）=[Ms²+Cs+K]^-1 （19-3）

称为广义导纳矩阵，也就是传递函数矩阵。由式（19-2）可知

X（s）=H（s）F（s） （19-4）

在式（19-4）中令s=jw，即可得到系统在频域中输出（响应向量X（w））和输入（激振向量F（w））的关系式

X（ω）=H（ω）F（ω） （19-5）

式中，H（w）为频率响应函数矩阵。H（w）矩阵中第i行第j列的元素(www.xing528.com)

（ω）

等于仅在j坐标激振（其余坐标激振力为零）时，i坐标响应与激振力之比。

在式（19-3）中令s=jw，可得传递函数矩阵

H（ω）=[（K-ω²M）+jωC]^-1 （19-7）

利用实对称矩阵的加权正交性，进行一系列公式推导，得到：

式中，称为第r阶留数；s_r=-σ_r+jv_r称为第r阶极点；上标星号表示复共轭。

s_r与ω_r、ξ_r的关系为：称为第r阶固有频率，称为第r阶模态阻尼比，m_r、k_r、c_r分别称为第r阶模态质量、模态刚度和模态阻尼。φ_ri称为第r阶模态振型。

相应地，将上式的频响函数作傅里叶反变换可以得到时域的脉冲响应函数表达式为

频响函数矩阵还可以写成多种表达形式，分别表示幅相频关系、实虚频关系和矢量图形式，依据这些表达形式可绘制出相应的特性曲线。这些曲线为实验模态参数的识别提供依据。

实验模态参数的识别的任务就是由一定频段内的实测频率响应函数数据，确定系统的模态参数——固有频率ω_r、模态阻尼比ξ_r和振型φ_r=（φ_r1，φ_r2，…，φ_rN）^T，r=1，2，…，N（这里可以认为N是系统在测试频段内的模态数）。