各向异性介质渗透率分析

由于渗透率k和水力传导系数K都是二秩张量,因此,对于各向异性介质,比流量可以用张量的形式来表示。由于各向异性介质中的渗流比较复杂,在本节中只简要介绍介质主方向的渗透情况,对于其他方向的渗透情况,在此不作叙述,有兴趣的读者可参考相关文献进行研究。在讨论中,假设多孔介质是均质的。

在各向异性介质的一般情况下,比流量q(q1,q2,q3)和梯度J(J1,J2,J3)≡-grad φ的关系可写成如下形式,即

在式(2.10)中,如果不作说明,都隐含着爱因斯坦求和约定,或称双重求和约定。按照这个约定,在任意项的乘积中,一个重复两次且仅重复两次的指标(上标或下标)即意味着在它取值范围内(通常是1、2、3)求和。例如,应当把式(2.10)中的第二个方程看成代表如下3个方程,即

三维空间中的9个分量或二维空间中的4个分量决定着水力传导系数张量。通常把它们写成如下矩阵形式,即

或

因为K是对称张量(即Kij=Kji),所以其在三维空间中只有6个不同的分量,而在二维空间中则只有3个不同的分量。式(2.11)的3个方程式也可以写成一个矩阵方程,即(www.xing528.com)

混合分量Kxixj(Kxixj≡Kij)可解释为这样一个系数:它乘以水力梯度J的分量Jxj即为J对xi方向的比流量qxi的贡献。而流量qxi则等于Jx1、Jx2、Jx3所产生的比流量之和。

在各向异性介质中,除了主轴方向以外,向量q和J是不共线的。这意味着流线的方向与等势线的法线方向并不一致。向量q和J之间的角度可表示为

当x、y、z为水力传导系数的主方向时,有

对于主方向以外的渗透率在此不作详述,有兴趣的读者可参考相关文献。