机械系统和电系统的模型相似性分析

前面我们讨论了机电系统以及它的一些典型元件的数学模型、运动微分方程和传递函数。导出了系统的数学模型之后，就可以完全不管系统的物理模型如何，只要求解数学模型，就可以对系统性能进行分析。下面看图5-30和图5-31所示的两个系统。

如图5-30所示为作平移运动的机械系统，其运动方程为：

式中 m——质量；

f——黏性阻尼系数；

——弹簧刚度。若以速度v（t）来代替，则上式变化为：

图5-30 机械系统

图5-31 图5-30的相似电系统（一）

而图5-31所示的电系统的运动方程为：

比较式（5-37）和式（5-38），可以看出它们具有完全相似的形式。因此，两者可以称为相似系统。两个相似系统中相对应的物理量称为相似量，如上述机械系统和电系统中，驱动力源F与电压源u对应，质量m与电感L对应，黏性阻尼系数f与电阻R对应，弹簧柔度ρ与电容C对应。

分析机械系统时，如果能把它化为相似的电系统来研究，则有许多优点：

1）可以将一个复杂的机械系统变换为相似的电路图，容易利用电路理论，如网络理论等来分析机械系统，使问题变得简单。

2）可以利用相似电路来模拟机械系统。用相似电路进行系统分析（实验）时，由于电路元件易于更换，且电气参数（如电流、电压等）容易测量，可以很方便地观察系统参数的变化对系统性能的影响，从而为选定参数来构成具有优良性能的系统提供了便利。

再看如图5-32所示的电路系统，它具有一个电流源和三个无源元件R、L和C。利用基尔霍夫电流定律，很容易导出节点方程为：

式中 为电导。

可以看出，式（5-39）与式（5-37）完全相似。因此，图5-32所示的电路系统也是图5-30所示机械系统的相似系统。其对应的相似量为：驱动力源F相似于电流源i；质量m相似于电容C；黏性阻尼系数f相似于电导G；弹簧柔度ρ相似于电感L等。

我们注意到如图5-31和图5-32所示的两个电系统的电路图的不同是因为驱动源的不同，前者为电压源，后者为电流源，它们都是如图5-30所示的机械系统的相似系统。由于机械系统的驱动源为力源，所以我们称如图5-30与图5-31所示系统的相似为力-电压相似，而将如图5-30与图5-32所示系统的相似称为力-电流相似。

图5-32 图5-30的相似电系统（二）

（1）力-电压相似

对机械系统进行研究时，首先必须确定连接点、参考地和参考方向。连接点是若干机械元件相互连接的地方。若系统中各连接点的力、位移和速度确定了，则整个系统中各元件的力、位移和速度也就确定了。我们规定同一刚体上的所有点都属于同一个连接点。这样，在图5-30中，我们只选了一个连接点。阴影部分表示参考地，连接点的位移和速度都是相对于参考地而言的，参考方向如图所示。前面我们已经得到了如图5-30和图5-31所示相似系统的运动方程式：式（5-37）和式（5-38）。由这两个方程式可以获得力-电压相似变换表如表5-1所示。

表5-1 力-电压相似变换表

（续）

利用力-电压相似原理，将一个机械系统变换成相似的电系统时，应遵循如下的变换规则：机械系统的一个连接点对应于一个由电压源和无源元件所组成的独立闭合回路，回路中的电压源和电气无源元件分别相似于机械系统中的对应元件。而参考地则相应于电系统的公共点——地。

在将机械系统变换成相似的电系统时，可以只利用电路的各种符号，而参数及数值原封不动地按相似关系标注在电路图中。例如，如图5-30所示的机械系统可变换成如图5-33所示的相似电系统，电路的符号皆用相似的机械系统的参数来标注。根据基尔霍夫电压定律，很容易写出如图5-33所示电系统的回路方程：

图5-33 图5-30的相似电系统

这就是如图5-33所示的机械系统的运动方程式，是利用电系统的形式来表示机械系统的内容。

例5-1 对如图5-34所示机械平移系统进行力-电压相似变换，求出系统运动方程式。

解：由图5-34，选择右方向为参考方向的正方向（如x₁，x₂和F的箭头所示方向）；由于m₁与m₂刚性相连，可视为一个质量（m₁+m₂）；选择两个连接点①和②；参考地为阴影线部分。

图5-34 机械平移系统

现在来画此机械系统的相似电路图。因为有两个连接点，所以相似电路有两个独立的闭合回路。第一个回路相应于连接点①，由相似于连接点①上的电压源u（力源F），电感L₁，L₂（质量m₁，m₂），电容C₁（弹簧ρ₁）和电阻R₁（阻尼器f₁）所组成。第二个回路相应于连接点②，由相似于连接点②上的电感L₃（质量m₃），电容C₀，C₁（弹簧ρ₀，ρ₁）和电阻R₁（阻尼器f₁）所组成。可以看到R₁和C₁是两个回路共有的，所以R₁和C₁应串联在两个回路的公共支路上。由图5-35a所示相似电路，很容易列出它的回路方程：(www.xing528.com)

图5-35 图5-34的力-电压相似电路

a）用电气参数标注的相似电路 b）用机械参数标注的相似电路

再利用力-电压相似变换表进行相似量的变换，便可得到机械系统的运动方程式。同样，由图5-35b可以直接写出机械系统的运动方程：

其中，图5-35b中的元件参数是根据力-电压相似变换表由图5-34进行相似量变换得到的。

（2）力-电流相似

若设法将机械系统中的连接点与电系统中的节点相对应，则在变换中将显得更自然些，这就导出了力-电流相似。在这种相似变换中，通过机械元件传递的力与流经电路元件的电流相似，而连接点之间的速度差与电路中节点之间或节点与地之间的电位差相似。力-电流相似中的相似变换表如表5-2所示。

表5-2 力-电流相似变换表

（续）

力-电流相似的变换规则为：机械系统中的一个连接点相应于相似电路中的一个节点。机械系统连接点所连接的驱动力源及无源机械元件与相似电路中的相应节点所连接的电流源及无源电路元件一一对应。同样规定，刚体上的所有点都看作处于同一连接点上。在力-电流相似中，质量m与电容C相似，而各质量m的速度皆是相对参考地而言。既然如此，则在相似电路中，电容器的一端总是接地的，因为与质量m的速度v相似的电容器两端的电位也是相对于地电位而言的。这样一来，若有两个以上的质量刚性相连，则在相似电路中相应于两个以上的电容器接在节点与地之间。

例5-2 仍以如图5-36所示机械系统为例，应用力-电流相似，写出机械系统的运动方程式。

解：选择图中的两个连接点①和②，与之相对应，在相似电路中有节点1和2。按照力-电流相似变换规则，节点1和地之间的电位差（速度）为v₁，节点2与地之间的电位差为v₂，两节点间的电位差为v₁-v₂。与节点1相连的有电流源（力源）F，无源元件：电容（质量）m₁、m₂，电导（阻尼器）f₁以及电感（弹簧）ρ₁；与节点2相连的有电容（质量）m₃、电感（弹簧）ρ₀，ρ₁以及电导（阻尼器）f₁。节点1和2之间为电感ρ₁和电导f₁并联。这样就构成了如图5-36所示的相似电路图。在图中，电气元件的参数皆用相似的机械参数来标注。

对此电路图应用基尔霍夫电流定律，可列出节点方程。

对节点1：

对节点2：

或

可以看到，得到的运动方程式与前面导出的结果相同，这就表明无论是利用力-电压相似，还是应用力-电流相似，皆可获得机械系统的相似电路图。

图5-36 图5-34的力-电流相似电路

上面我们讨论了机械平移系统的相似变换，对于机械旋转系统同样可以根据力-电压相似或力-电流相似的原理来进行相似变换，只不过要将旋转系统中的参数变成平移系统中的相似量，其相似关系如表5-3所示。下面举例说明。

表5-3 机械平移系统与机械旋转系统相似关系

例5-3 试画出如图5-37所示机械旋转系统的相似电路图，并导出机械系统的运动方程式。图中参数M为作用在飞轮上的外力矩；J为飞轮转动惯量；ρ_θ为轴的弹簧扭转柔度；f_θ为飞轮旋转黏滞阻尼系数；θ为轴的扭转角位移。

解：利用力矩-电流相似原理来进行研究。选择飞轮为连接点，它连接力矩源M和三个元件：扭转刚度为1/ρ_θ的轴，转动惯量为J的飞轮以及黏性阻尼系数为f_θ的阻尼器。这相应于相似电路中有一个节点，它连接一个电流源（力矩源）和三个元件：电容C（惯量J），电导G（阻尼器f_θ）电感L（弹簧扭转柔度ρ_θ）。相似电路图如图5-38所示。由图可得节点方程为：

根据力（力矩）-电流相似变换关系很容易写出相似方程如下：

这就是机械旋转系统的运动方程式。

图5-37 机械旋转系统

图5-38 图5-37的相似电系统