综合例题：互感和变压器问题方案

【例2-11】 列出图2-47所示电路的网孔电流方程。

解 设电路的网孔电流如图2-47所示，根据KVL可得

图2-47 例2-11图

写成相量形式为

写成矩阵为

【例2-12】 求图2-48所示电路的输入阻抗Z_i。

图2-48 例2-12图

解 本例用加压—求流法求解比较方便。在图2-48a所示的电路中，设外加的电压为u_ab，在该电压的激励下电路的电流为i，根据KVL可得

在图2-48b所示的电路中，设外加的电压为u_ab，在该电压的激励下电路的电流为i，根据KVL和节点电位法可得

联立求解可得

图2-48所示的电路等效于两个电感相串联和相并联的电路，上面的计算结果说明，两电感串联或并联的结果等效于一个自感系数为L的电感，等效电感的自感系数L不仅与两电感的自感系数L₁和L₂有关，还与互感系数M及同名端的排列有关。在图2-48a所示的电路中，两线圈的互感电压是反极性相串联的，在图2-48b所示的电路中，两互感电压是同极性相并联的。改变图2-48所示电路同名端的设置，可得两个自感线圈同极性相串联或反极性相并联的等效自感系数L=L₁+L₂+2M和。综合上面的计算结果可得

两自感线圈相串联的等效自感系数为

L=L₁+L₂±2M （2-65）

两自感线圈相并联的等效自感系数为

因为自感系数L是一个大于0的数，由式（2-65）可得两线圈相串联的最小互感系数为两线圈自感系数的算术平均值，由式（2-66）可得两线圈相并联的最大互感系数为两线圈自感系数的几何平均值（）。(www.xing528.com)

【例2-13】 图2-49a所示的电路为接收机输入电路的等效电路，为了实现电路的阻抗匹配，求自感分压系数与电容分压系数的关系。

图2-49 例2-13图

解 当电源所带的负载等于电源的输出阻抗时，电路可实现阻抗匹配。在图2-49a所示的电路中，电源通过电感分压电路输出，负载电阻通过电容分压电路与电源的输出电压相连。设负载电阻通过电容分压电路后的等效阻抗为R_L′，电源的输出阻抗R_o通过电感分压电路后的等效阻抗为R_o′，阻抗匹配的要求是R_o′=R_L′，计算R_L′和R_o′的电路如图2-46b所示。利用阻抗变换功率相等的特点可得电容分压阻抗变换的规律为

在两个电感线圈没有互感作用的前提下，利用阻抗变换功率相等的特点可得电感分压阻抗变换的规律为

根据阻抗匹配的条件可得R_L′和R_o′的关系为

整理后可得自感分压系数与电容分压系数的关系为

以上介绍的各种分析方法仅适用于正弦交流电量，在分析非正弦交流电量的问题时，应先利用高等数学介绍的傅里叶级数的概念，将非正弦信号展成不同频率的正弦信号，然后再利用叠加定理求解。

【例2-14】 如图2-50所示的电路中，已知R=0.5kΩ，C=50μF，ab端口的输入电压u（t）=（1+1.5cos200t）V，求各支路的电流i（t）、i₁（t）和i₂（t）。

解 因输入电压是直流电压和正弦交流电压的叠加，先将输入电压分解成直流电压和正弦交流电压，然后利用叠加定理求解。直流电压单独作用时各支路的电流为

图2-50 例2-14图

设交流电压的相量为V，则交流电压单独作用时，各支路的电流为

根据叠加定理可得各支路的电流为