磁流变液在磁场中上升的运动方程

根据多孔泡沫金属磁流变液阻尼材料的设计理念，磁流变液在初始状态下储存在多孔泡沫金属材料里面，在外磁场作用下，磁流变液在磁场作用力下被抽出到达多孔泡沫金属的表面，由于磁流变液中的基液与金属可磁化颗粒具有不同的磁导率，使磁场产生不均匀性，磁性颗粒受力而进行链化。换句话说，微观下的不均匀磁场给予金属可磁化颗粒链化的动力。

如果不考虑磁流变液中的界面作用，并忽略磁流变液在磁场中的不均匀性，磁流变液上升时应该为等高的“柱状”，如图5.3（a）所示。但是从初步实验结果来看，实际并非如此（见图5.3（b）），因此在实际计算时，必须综合考虑磁流变液在磁场中的受力，此时的理想状态如图5.3（c）所示。

图5.3　磁流变液在磁场作用下的演变

（a）理想状态；（b）实际实验；（c）示意图

一定体积的磁流变液，在初始状态下，没有外加磁场时，其表面呈水平状态，在竖直方向的磁场作用下，其表面状态会发生变化，达到稳定时，其形状由磁力、引力和表面张力等外力相互平衡所决定。一般地，给一定体积的磁流变液加均匀外磁场，当增加磁场强度时，磁流变液的磁化强度也将增大，当其到某一临界值时，磁流变液的表面将不再光滑，而是出现波峰与波谷，Gollwitzer 等人对磁性液体产生的这种现象进行了研究，发现磁性液体的液滴形状最接近椭圆，因此，本文也采用近似椭圆的形状来研究磁流变液在磁场中的上升现象。

图5.4　磁流变液的上升模型

磁流变液在上升过程中的模型如图5.4 所示，假设磁流变液充满图示的空间XF，其他部分为空气区域XA，均匀磁场垂直于水平表面z=0，在不考虑磁流变液内部磁场的梯度时，其内部的磁场强度记为H，则磁流变液的Maxwell 方程为

式中　M——磁流变液的磁化强度。

假定磁流变液的磁化强度M 与磁场强度H 为线性关系，即M=χ0H，得到磁流变液的磁化强度和磁感应强度的关系如下：

式（5.5）中， χ0 为磁流变液的磁化率。

根据参考文献[8]，针对表面水平的一薄层磁流变液，其表面发生变化时的临界磁化强度为

而出现磁流变液“凸峰”的个数为

式中　μr，μs——分别是与磁流变液磁导率有关的常数；

　　　μ0——真空磁导率；

　　　k∗——产生磁流变液峰值的个数；

　　　σ——磁流变液的表面张力系数。

假定磁流变液在流动过程中是连续的和不可压缩的，由Euler 方程得(www.xing528.com)

式（5.8）中，只考虑了磁流变液的线性磁化过程，也就是磁流变液的磁化强度正比于外磁场强度，其中v 是磁流变液上升的速度，ρ 是磁流变液的密度，g 为重力加速度，M 和H 为磁流变液中的磁化强度和磁场强度，在静止状态下，v=0，则磁流变液的流体静力学方程为

对式（5.9）积分，考虑各个矢量的方向，则其大小关系可表示为

式中，z= ξ （x， y， t），表示磁流变液的上升高度，c 是积分常数，在z=ξ 处，磁流变液和空气之间的压力为零，由式（5.10）得，该处的压力可用平衡方程表示：

式中　K——磁流变液的表面形状在该处的曲率。

由式（5.10）和式（5.11）得

如图5.4 所示，在r=0，ξ=h 处，有

在与中心点O 的距离r 远大于0 处，ξ=0，则有

由式（5.13）和式（5.14）得

式中　B0——外界磁感应强度；

　　　K（h）——峰值h 处的曲率；

　　　B（h）——h 处磁流变液内部的磁感应强度，可根据近似的椭圆形状进行估算。其中，h处磁流变液内部的磁感应强度和外界磁感应强度的关系可以由参考文献[8]得到：

式中　β——椭圆的几何参数可以从参考文献[8]得出。

这样式（5.15）即为建立的磁流变液在磁场中上升高度与外界磁感应强度之间的关系式，关系式同时也表征了磁流变液在磁场中上升高度的影响因素包括磁流变液的密度、磁化率、表面张力以及所选择的近似图形等。