坐标变换：永磁辅助同步磁阻电机的Clarke变换和dq变换详解

由于永磁辅助同步磁阻电机是一个多变量、强耦合和非线性的复杂系统，因此必须经过坐标变换将三相静止坐标系abc下的数学模型转换成两相旋转坐标系dq下的数学模型才能实现电流的解耦控制。永磁辅助同步磁阻电机的坐标系包括三相静止坐标系abc、两相静止坐标系αβ和两相旋转坐标系dq，如图5-1所示。

常用的坐标变换有4种。

1.三相静止坐标系-两相静止坐标系（Clarke变换）

在三相静止坐标系下，定子电流i_a、i_b、i_c互差120°，且满足i_a+i_b+i_c=0，根据三相磁动势和两相磁动势相等原理，可以将三相电流i_a、i_b、i_c投影到两相电流i_α、i_β上，α轴与a轴重合，如图5-2所示。这种变换称为Clarke变换，变换矩阵如下：

图5-1 永磁辅助同步磁阻电机坐标系

a）三相静止坐标系abc b）两相静止坐标系αβ c）两相旋转坐标系dq

2.两相静止坐标系-两相旋转坐标系（Park变换）

在永磁辅助同步磁阻电机中，αβ坐标系相对定子是静止的，而转子相对定子以设置转速在旋转，αβ坐标系要转换成与转子同步旋转的dq坐标系。在定子中电流矢量为i_s，i_s可以投影到αβ坐标系，分解成i_α和i_β，也可以投影到dq坐标系，分解成i_d和i_q，i_d相当于励磁电流分量，i_q相当于转矩电流分量。d轴与α轴的夹角为θ，如图5-3所示。这种变换称为Park变换，变换矩阵如下：

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图5-2 Clarke变换

图5-3 Park变换

3.两相旋转坐标系-两相静止坐标系（反Park变换）

Park变换和Clarke变换一般应用在三相电流i_a、i_b、i_c分解成i_d、i_q，而反Park变换和反Clarke变换一般应用在u_d、u_q合成三相电压u_a、u_b、u_c，从而准确计算出电机运行所需要的电压矢量。两相旋转坐标系到两相静止坐标系是将dq坐标系的电压矢量转换成αβ坐标系的电压矢量，这种变换称为反Park变换，变换矩阵如下：

4.两相静止坐标系-三相静止坐标系（反Clarke变换）

两相静止坐标系转换成三相静止坐标系是将αβ坐标系的电压矢量转换成abc坐标系的电压矢量，再经过计算输出开关量给驱动模块生成相应的电压来驱动电机，这种变换称为反Clarke变换，变换矩阵如下：