二元假设测试：达到高检测率与低虚警率的决策算法优化

假设在决策系统故障时有两种可能性：一种是虚警，另一种是漏检。一般情况下，观测值的概率密度函数为

式中，P_FA为虚警率；P_M为漏检率；P_D为故障检测率；H₀为系统无故障假设；H₁为系统有故障假设；Z₀为观测值落入H₀空间的区域；Z₁为观测值落入H₁空间的区域。

显然，二元假设测试决策算法的目的是达到非常小的误差概率，即同时达到高的故障检测率P_D和低的虚警率P_FA。但要同时达到以上目的是相互矛盾的。例如，若取Z=Z₁，意味着P_D最大可以达到P_D=1，所有发生的故障都可检测出来；但P_FA也要达到最大值P_FA=1，即所有正常情况都误报为有故障。因此，必须折中选择P_D和P_FA，下面介绍几种确定决策函数的方法。

（1）错误概率最小的测试（Minimize Probability of Error，P_e）设P₀、P₁分别是H₀、H₁为真的概率，对于二元测试有P₀+P₁=1，故不正确决策的概率为

P_e=P_FAP（H₀）+P_MP（H₁）=P_FAP₀+P_MP₁ （5-30）

使P_e最小化的测试称为错误概率最小的测试。若P（ZH₀）和P（ZH₁）已知，则

由式（5-29）可知：

在决策区域Z₀内，应满足条件P₀P（Z|H₀）＞P₁P（Z|H₁）；而在决策区域Z₁内，应满足条件P₀P（Z|H₀）＜P₁P（Z|H₁），即

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式（5-33）称为决策规则；称为决策函数；T称为决策阈值。

（2）最小费用测试 在实际应用中，不同类型的错误决策造成的惩罚是不同的，设两种错误的代价系数分别为：C₀，表示当H₁为真时被判为H₀的代价，即漏检的代价系数；C₁，表示当H₀为真时被判为H₁的代价，即虚警的代价系数。

正确的决策将不受惩罚，定义贝叶斯风险系数如下：

使贝叶斯风险系数R最小，可得下面的决策规则

这种方法与错误概率最小的测试方法的差别是阈值的不同。当虚警代价系数C₁较大时，阈值大，从而使P_FA较小；当漏检的代价系数C₀较大时，阈值值小，从而使P_M小。

（3）Neyman-Person准则 有时P₀、P₁、C₀和C₁不能确切知道，给定P_FA后，寻找一种测试方法使P_M最小。假设可以接受的虚警率P_FA=α，则可以得到如下决策规则

式中，阈值T由下式确定：

式中，P_LR|H₀（λ|H₀）为H₀为真的条件下，似然比的概率密度函数。