如何制作轴测投影图？

正投影图能准确、完整地表达形体的形状和大小，且作图简便、度量性好，所以在工程上广泛采

用。但是，正投影图中的每个视图只能表达

轴测图讲解

观察与理解 形体在长、宽、高三个方向中的两个方向的尺寸，因此缺乏立体感，不易读懂。所以工程上常用具有立体感的轴测图作为辅助图样，以便能更直观地了解工程建筑物的结构形状。如图2-41（b）所示的图形就是图2-41（a）所示的正投影图所表达形体的轴测图。

图2-41　正投影图与轴测图

一、轴测投影的基本知识

1.轴测投影的形成

图2-42　轴测投影的形成

如图2-42所示，将物体连同确定形体的长、宽、高方向的空间直角坐标系，沿不平行于任一坐标平面的方向S，用平行投影法将其投影在投影面P上所得到的图形，称为轴测投影；应用这种方法绘出的投影图称轴测投影图，简称轴测图。

●轴测投影面：P面。

●轴测轴：空间直角坐标系OX、OY、OZ在轴测投影面P上的投影O1X1、O1Y1、O1Z1。

●轴间角：相邻两轴测轴之间的夹角∠X1O1Y1、∠X1O1Z1、∠Y1O1Z1。

●轴向伸缩系数：轴测轴上的线段与坐标上的对应线段的长度比。X轴、Y轴、Z轴的轴向伸缩系数分别为p、q、r表示，即：

2.轴测投影的种类

轴测图按投影方向不同，轴测投影可分为两类：

●正轴测投影：将形体上的三向坐标轴均倾斜于轴测投影面P，用正投影法进行投影。

●斜轴测投影：将形体上的某一坐标面平行于轴测投影面P，用斜投影法进行投影。

3.轴测投影的基本性质

由于轴测投影采用的是平行投影的性质，因此，轴测投影必定具备平行投影的特性。

●　平行性——形体上相互平行的线段，其轴测投影平行；与空间坐标轴平行的线段，其轴测投影与相应的轴测轴平行。

●　定比性——形体上平行于坐标轴的线段，其投影的变化率与相应轴测轴的轴向变化率相同；形体上成比例的平行线段，其轴测投影仍成相同比例。

由此，凡与坐标轴平行的线段，其轴测投影不但与相应的轴测轴平行，而且可直接度量尺寸，与坐标轴不平行的线段，则不能直接量取尺寸。

二、正等轴测投影图

1.轴间角和轴向伸缩系数

图2-43　正等轴测图的轴间角

●轴间角

正等轴测图中，要使三个轴向变形系数都相等，必须使确定物体空间位置的三个坐标轴与轴测投影面的倾角都相等，如图2-43所示，投影后，轴间角∠X1O1Y1=　　∠X1O1Z1=∠Y1O1Z1=120°。

●轴向伸缩系数

正等轴测图各轴的轴向伸缩系数都相等，有理论证明可知：p＝q＝r≈0.82。为了方便作图，通常采用简化的轴向伸缩系数p＝q＝r＝1，即作图时，沿各轴向量取的长度等于物体上相应轴向线段的实长。这样画出的正等轴测图，沿各轴向长度都较物体的真实投影放大了1.22倍（1∶0.82≈1.22），这并不影响物体的形状。

2.正等轴测图的画法

（1）平面体正等轴测图的画法：

●坐标法

画平面体轴测图的基本方法是坐标法，据平面体各角点的坐标或尺寸，沿轴测轴，按简化的轴向伸缩系数，逐点画出，然后依次连接即得到平面体的轴测图。

【案例】

案例与分析

画2-44图所示正六棱柱的正等轴测图。

【分析】

由于六棱柱的前后、左右都有对称轴线，故可把原点设在顶面的中心处。

图2-44　六棱柱的正等轴测图

【作图】

a）在六棱柱的三面投影图上选定坐标轴，取顶面中心作为坐标原点，如图2-44（a）所示。

b）作正等轴测轴，在X1、Y1上定出相应的点1、4和7、8，如图2-44（b）所示。

c）分别过7、8作X1轴的平行线，定出点2、3和5、6，并画出可见的高度线，如图2-44（c）所示。

d）量取高度h，画底面的可见轮廓，如图2-44（d）所示。

e）加深，如图2-44（e）所示。

因轴测图一般只用作正投影图的辅助图，所以在轴测图中，不可见的轮廓线一般不予画出。

●切割法

对于能从基本形体切割得到的物体，可以先画出基本形体的轴测投影，然后在轴测图中把应该切去的部分去掉，从而得到所需的图形。

【案例】

作出图2-45所示木榫子的轴测图。

案例与分析

图2-45　木榫子的正等轴测图

【分析】

此物体可视为一长方体被切去某些部分形成。画轴测图时，可采用切割法。

【作图】

a）在给定的正投影图上选定坐标原点和坐标轴，如图2-45（a）。

b）根据尺寸l1、b1、h1作出完整的长方体的轴测图，如图2-45（b）。

c）根据尺寸l3、h2，应用“平行性”，完成立体左上部切去一块的轴测图，如图2-45（b）。

d）根据尺寸l2、b2，画出切去左前一角的轴测图，如图2-45（c）。

e）擦去多余的线，加深可见轮廓线，完成木榫子的正等轴测图。

●叠加法

若组合体是叠加而成，画此形体的轴测图时，应将其分为几个部分，并先后画出各部分的轴测投影。

【案例】

作出图2-46（a）所示挡土墙的正等轴测图。

案例与分析

图2-46　挡土墙的正等轴测图

【分析】

挡土墙可分为基础和墙身两部分。

【作图】

a）画出基础（长方体的轴测投影），如图2-46（b）所示。

b）画墙身，根据基础上的一点A，确定墙身上一点B的位置，如图2-46（c）所示。

c）根据B点作出墙身端面的轴测投影，然后画出墙身。(www.xing528.com)

d）擦去多余图线，加深可见轮廓线，完成挡土墙的轴测投影，如图2-46（d）所示。

（2）曲面体正等轴测图的画法：

曲面体与平面体正等轴测图的画法基本相同，只是由于其上多有圆或圆角，所以，只要掌握圆或圆角正等轴测图的画法，就能画出曲面体的正等轴测图。

●圆的正等轴测图

与投影面平行的圆和圆弧，在正等轴测图中成为椭圆或椭圆弧。由于三个坐标平面与轴测投影面倾角相等，因此，三个方向的椭圆作法相同。工程上常用辅助菱形法（四心圆弧近似画法）作圆的轴测图。

先以水平圆为例，说明圆的正等轴测图的画法。

如图2-47所示，先画出圆的外切正方形的正等轴测图——菱形abcd，连接两锐角顶角a、c，从钝角顶点b向对边中点3、4连线，与ac交于O3、O4。b、d、O3、O4点即为椭圆近似画法的4个圆心。先以b、d为圆心，b3为半径，分别作圆弧34和圆弧12；再以O3、O4为圆心，O34为半径，分别作圆弧14和圆弧23，这就是所求的近似椭圆。

图2-47　近似画法

图2-48所示为平行于不同坐标面圆的正等测圆。由图可知：椭圆的长轴都在菱形的长对角线上，短轴都在短对角线上。长轴的方向分别垂直于与该坐标面垂直的轴测轴（如平行于X1O1Y1面内椭圆的长轴垂直于O1Z1轴），而短轴分别与相应的轴测轴平行。在近似椭圆中，长轴≈1.22d、短轴≈0.7d（d为圆的直径）。

图2-48　平行于各坐标面的圆的正等轴测图

●圆柱、圆台的正等轴测图

直立圆柱的顶面和底面都是直径为d的水平圆，圆柱体的高度为h。故确定圆柱顶面圆的圆心O为坐标原点，坐标轴如图2-49（a）所示。

作图方法和步骤如下：

a）画出轴测轴，并通过圆心O1在轴测轴X1Y1上量取圆的直径d，然后作菱形，画出顶圆的正等测椭圆，如图2-49（b）所示。

b）将画顶面椭圆的四个圆心沿轴测轴Z1方向分别往下移动圆柱高h的距离，即得画底面椭圆的四个圆心11、21、31、41。用同样的方法画出圆柱底面的椭圆，如图2-49（c）所示。

c）作两椭圆的公切线。

d）如图2-49（d）所示，擦去多余的图线，并将可见的轮廓线加深，完成圆柱体的正等轴测图。

图2-49　圆柱体的正等轴测图画法

圆台的作图方法及步骤如下：

a）定坐标轴，如图2-50（a）所示。

b）作位于YOZ坐标内的左、右两底的轴测图（椭圆），如图2-50（b）所示。

c）作椭圆的公切线，如图2-50（c）所示。

d）整理，加深，如图2-50（d）所示。

图2-50　圆台的正等轴测图

●圆角的正等轴测图

如图2-51所示，带有圆角的底板，其圆角的正等轴测图的作图方法及步骤如下。

图2-51　圆角的画法

a）画出不带圆角底板的轴测图，然后从顶点C向两边量取半径R，得切点A、B。

b）过A、B点作边线的垂线，交点即为圆心1，以圆心至切点的距离为半径，作弧便是圆角的轴测图。

c）画底板下表面的DE弧，可将圆心和切点向下移到底板厚度画出。

d）右边圆角画法与左边相同，但是须注意半径的变化。

三、斜轴测投影图

不改变形状对投影面的位置，而使投影方向与投影面倾斜，即得到斜轴测投影图，简称斜轴测图。

1.正面斜轴测图

以V面作为轴测投影面所得到的斜轴测图，称为正面斜轴测图。

在立面斜轴测投影中，当使空间坐标轴OX和OZ平行于轴测投影面时，不论投影方向如何，两坐标轴本身就是轴测轴O1X1和O1Z1，因此，轴间角∠X1O1Z1=90°，轴向伸缩系数p＝r＝1。而空间坐标轴OY的投影，则因投影方向的变化而不同，其轴间角与轴向伸缩系数也无制约关系。考虑到作图方便，一般取O1Y1轴与水平线成45°（或30°、60°）角，其轴向伸缩系数取1或1/2。当q＝1时，则称正面斜等测投影；当q＝1/2时，则称正面斜二测投影，如图2-52所示。

图2-52　正面斜轴测图的轴间角

【案例】

已知T形梁的三面投影图，作其正面斜等测图。

【分析】

梁体为棱柱体，采用正面斜等测投影，T形端面反映实形，既反映形体的特征，又作图简便。

【作图】

（1）画出T形梁前端的实形（在XOZ平面内）。

（2）自各角点作Y1轴的平行线，再在各平行线上量取各梁长。

（3）画出T形梁后端面，完成全图，如图2-53所示。

案例与分析

图2-53　T形梁斜二测图画法

当圆平行于坐标面XOZ时，其立面斜轴测图仍为圆。当圆平行于另外两坐标面时，其正面斜轴测图为椭圆，按坐标定点法可作出椭圆。

【案例】

画出图2-54（a）所示钢箍的立面斜二测图。

【分析】

钢箍也为柱类体，采用立面斜二测投影，既反映形体的特征，又将端面反映实形且作图简便。

【作图】

将坐标面XOZ设在钢箍的前端面上，原点设在圆心处，这样钢箍上所有的圆都平行于坐标面XOZ，其立面斜轴测图均为圆。作图方法如图2-54（b）所示。

由此可见，绘制某一方向上有较多圆弧的物体时，采用斜轴测投影作图比较简单。

比较图2-30和图2-54可以看出，斜等轴测图的y方向显得过宽，所以常采用直观性效果更强的斜二测图。

图2-54　钢箍正面斜二测图

2.水平斜轴测图

以H面为轴测投影面时，使坐标轴OX和OY平行于H面，则轴间角∠X1O1Y1＝90°。一般将O1Z1轴放置成竖直位置，O1Z1轴的轴向伸缩系数可采用1或1/2，当采用p＝q＝r＝1时，称水平斜等测投影；当采用p＝q＝1，r＝1/2时，称水平斜二测投影。水平斜轴测轴的轴间角如图2-55所示。

由于水平斜轴测图能反映水平面的实形，故特别宜于表现建筑群。

图2-56所示为建筑群的水平斜轴测图，其作图步骤为：

a）根据建筑群特点，将其水平投影旋转30°（60°）。

b）过各个房屋水平投影的转折点向上作垂线，使之等于房屋的高度。

c）连接相应端点，去掉不可见线，即得建筑群的水平斜轴测图。

图2-55　水平斜等轴测图轴间角

图2-56　建筑群的水平斜等轴测图

模仿与应用

识读如图2-57涵洞洞口的三面投影，完成其轴测图。

图2-57　涵洞洞口