模糊推理中的复合模糊条件语句

1.判断与推理

人们的思维就是利用概念来进行判断和推理。判断是概念与概念的关联，而推理则是判断与判断的联合。如果概念是模糊的，则判断和推理就是模糊的。

若用符号及其运算来表示思维的过程，就称为思维的形式化。我们的目的，就是要寻求符合思维实际情况的思维形式化的规律与方法。

1）判断句

判断句的句型是“x是A”，其中A是表示概念的一个词或词组，也就是在论域X上的一个集合，x表示论域X中的任何一个特定对象，称为语言变量。如果A的外延是清晰的，则A所对应的集合是普通集合，若A的外延是模糊的，则A对应的集合是模糊集合。将判断句“x是A”简记作（A）。当A为普通集合时，称（A）是普通判断句；当A是模糊集合时，称（A）是模糊判断句。

在二值逻辑中，如果x∈A，则称（A）的判断为真，A就是（A）的真值域；如果xA，称（A）为假。如图7.8.5所示，图中阴影部分表示（A）为真，是判断（A）的真值域。显然有

图7.8.5　判断（A）的真值域

在模糊逻辑中，“x是A”的判断没有绝对的真假，将x对的隶属度定义为（A）判断句的真值。

例如“x是菱形”“x是人”是普通判断句；而“x是晴天”“x很暖和”就是模糊判断句。

2）推理句

“若x是A，则x是B”型的判断句，称为推理句，简记为“（A）→（B）”。若A、B为普通集合，则称此推理句为普通推理句，若A、B为模糊集合，则称此推理句为模糊推理句。

例如，“若x是菱形，则x是平行四边形”是普通推理句，因为“菱形”“平行四边形”这些集合是普通集合；而“若x是晴天，则x很暖和”就是模糊推理句，因为“晴天”“暖和”这些集合是模糊集合。

3）推理句的形式化

用符号及运算来表示推理句的过程，称为推理句的形式化。当然这种形式化必须符合推理的真实含义。

在普通集合范围内来考虑“x是A，则x是B”这一推理句，我们可用前述定义的符号来代表有关的判断句，即“x是A”用（A），“x是B”用（B），“x是A，则x是B”用（A）→（B）来表示。对论域中的所有x进行上述推理句考察时，可以分成四种情况：

（1）（A）是真同时（B）也是真，当然（A）→（B）为真。

（2）（A）是真但（B）是假，显然（A）→（B）不成立，即为假。由于（A）为假时（即x不在A中），推理句中没有限制“x是B”或“x不是B”，也就是说（B）为真或为假都可以，即此时（A）→（B）都能成立（为真）。

（3）（A）为假，（B）为真时，（A）→（B）为真。

（4）（A）为假，（B）为假时，（A）→（B）为真。

举一例来说明上述推理，更易理解，例如有下列推理句：

“如果今天下雨，我就在家中。”

显然有：①“如果今天下雨，我就在家”这是真的；②“如果今天下雨，我不在家”是假的；③“如果今天不下雨，我也在家”，这也是可以的（真的）；④“如果今天不下雨，我不在家”，这也是可以的（真的）。这是因为③、④两种情况，推理句没有限制，即如果不下雨，我可以在家也可以不在家。

根据上述分析，我们可以作出如表7.8.5所示的真值表。

表7.8.5　蕴涵式（A）→（B）的真值表

根据此真值表，我们可以得出如下推理的形式化模型：

或将式（7.8.5）简写成

这就是二值逻辑中归约律的情况。

若令A→B=C，则普通推理句“（A）→（B）”等价于一个判断句“x是c”，即

的真值域如图7.8.6所示。为了便于推广到模糊推理的情况，常把式（7.8.6）写成相应真值的等式：

图7.8.6　(www.xing528.com)

若推理句是一个恒真的判断句，则称它是一个定理，显然有

所谓演绎推理的三段论法可以表示为

而用集合描述有

图7.8.7为三段论集合描述的示意图。

图7.8.7　三段论集合

若（A）→（B）是定理，（B）→（C）是定理，则（A）→（C）是定理，这一规则，称为复合原则。用集合表示的复合原则为

2.模糊蕴涵关系（模糊推理句）

当A、B是模糊集合时，上述推理句就称为模糊推理句。模糊推理句的真值可以根据普通推理句的真值公式来定义。

“若x是晴天，则x很暖和”的模糊推理句的隶属函数曲线如图7.8.8所示，其中表示“晴天”的隶属函数，表示“暖和”的隶属函数，则由图中上半部V形实线所描述，它给出了“若晴则暖”为真的程度的定量表示。

图7.8.8　

在上述各式中，R是A→B蕴涵关系。通常使用最多的是1）和2）两种合成运算方法，原因是这两种方法的计算比较简单。

模糊推理过程，可以看成是一个模糊变换器的工作过程。当输入一个模糊子集A＇，经过模糊变换器R=A→B时，输出为A＇◦（A→B），如图7.8.9所示。

图7.8.9　模糊变换器

例7.8.4　若A→B采用积运算式（7.8.15），合成运算“◦”采用最大-最小合成法，式（7.8.23）给定小前提，分别是A＇=非常，求广义正向式模糊推理及广义反向式模糊推理的结论。

当然，此例也可以用不同的蕴涵关系式和不同的合成运算方法来求解。计算后可以发现，有的结论符合实际思维逻辑，有的则不符合。可见，关于模糊推理的理论问题的研究，现在还不成熟。

4.复合模糊条件语句的模糊推理

在模糊推理中，大前提可能不是单一的模糊条件语句，可能是若干条件语句，中间再用一些连接词，如“否则”（else），“与”（and）等连接起来。这类问题的模糊推理称为复合模糊条件语句的模糊推理，分以下几种情况来讨论。

求结论时，蕴涵运算“→”及合成运算“◦”的意义同前。

4）复杂的连接词

大前提中的语句代表着模糊关系，有时实际情况很复杂，可能在多重语句中，还同时使用了连接词“and”“else”“or”和“also”。此时，求解问题的关键是正确地决定大前提的总的模糊蕴涵关系R总。

（1）例如，若大前提的语句为“若x是A则y是B则z是C else z是D”，则R为