模糊关系的基本概念及应用介绍

经典关系只能说明元素之间关系的有无。现实世界的关系不是简单的有无，而是有不同程度的相关性质。例如家庭成员之间相貌相似的关系，就不是简单的相似或不相似，而是有不同的相似程度。反映这种性质的关系就是模糊关系。

定义7.6.7　设X、Y为两个论域，在X×Y上的任何一个模糊集∈F（X×Y）都称为X与Y之间的模糊关系，即

其中称为x与y关于的关系强度。当X=Y时，称为X上的模糊关系。

例7.6.5　医学上常用

体重（kg）=身高（cm）-100

描述标准体重，这实际上给出了身高（论域X）与体重（论域Y）的普通关系。若X=｛140，150，160，170，180｝，Y=｛40，50，60，70，80｝，则普通关系由表7.6.2给出。它的关系矩阵是个布尔矩阵

表7.6.2　体重与身高的普通关系R（xi，yj）

人有胖瘦不同，所以大部分人并非严格的标准情况，而是与标准情况有不同的接近程度，显然这更能完整、全面地描述身高与体重的关系，如表7.6.3所示。

表7.6.3　体重与身高的模糊关系

当；

当，这说明身高170 cm与体重60 kg的人与标准情况接近的程度为0.8，或其关系强度为0.8；身高180 cm与体重50 kg的人与标准情况接近的程度为0.1，或其关系强度为0.1。

这个模糊关系的矩阵形式如下：

一般地，对于有限论域之间的模糊关系可用n行m列（简称n×m阶）的模糊矩阵来表示：

其中。

例7.6.6　设有一组学生X=｛甲、乙、丙｝，他们可以选学Y=｛英、法、德、日｝中的任意几门外语，他们的结业成绩见表7.6.4。(https://www.xing528.com)

表7.6.4　外语成绩表

若把他们的分数除以100，则得X与Y之间的一个模糊关系，见表7.6.5。

表7.6.5　模糊关系表

它的矩阵形式为

有限论域上的模糊关系除了可以用矩阵表示外，还可以用模糊关系图来表示，如图7.6.4所示。

图7.6.4　模糊关系图

由于模糊关系是一种特殊的模糊集，即X×Y上的模糊集，故其运算与模糊集的运算完全一致，即包含关系，恒等关系，并、交、补的运算都有相同的定义；模糊关系的运算符合幂等、交换、结合、吸收、分配、两极、复原、对偶等规律，但不符合排中律的λ截集是X与Y之间的普通关系，前述的截集的性质也完全适用于截关系。

记

它们分别称为零矩阵、单位矩阵和全矩阵。

的截关系Rλ称为λ截矩阵，记为

其中