斜齿轮齿廓计算方法

斜齿轮的齿廓是一空间曲线，其端面具有渐开线齿廓，而每一个平行于端面的截面也都具有相同的齿廓。所以只要计算出端面齿廓坐标，整个斜齿的坐标也就不难确定了。图3-13是处于三维坐标系中的斜齿，坐标的原点是齿轮前端面的圆心，Z轴与齿轮轴线重合，Y轴与斜齿轮前端面的对称中线重合。显然，斜齿轮端面处在XOY平面内。此端面齿廓并不是由滚刀的法面范成的，而是由滚刀上与之共轭的截面范成的。斜齿轮的螺旋角为β，则滚刀法面与这共轭面相交β角，所以要计算斜齿轮的端面齿廓，首先得计算出滚刀上的共轭面。

图3-12 确定工件齿廓坐标

图3-13 坐标系XYZ

（1）求滚刀上的共轭面 设滚刀的法面与共轭面分别示于图3-14、图3-15中，并设X₁O₁Y₁是设在共轭面上的坐标系，则直线刀刃的方程为

图3-14 滚刀的法面

图3-15 滚刀的共轭面

法面上的刀刃圆角在共轭面上变成了椭圆，共短轴仍为圆角半径ρ_a0，而长轴则是ρ_a0/cosβ，则椭圆方程为

由图3-14可知，式（3-25）中的δ为

其中E的求法见3.2.1节。

直线刀刃和椭圆的切点M₁点并不处在长轴上。其离短轴的距离l为

所以M点的坐标为

至此，滚刀上共轭面的直线刀刃、刀刃椭圆角方程，以及其交点的位置均已确定。

（2）计算斜齿轮端面齿廓的坐标 根据3.2.1节所述方法，利用滚刀共轭面上直线刀刃方程，可以计算出斜齿轮端面齿廓的渐开线部分。但由于滚刀的共轭面具有椭圆角，其上每一点的曲率中心及半径都不相同，所以其切削点位置的求法要比半径为常量的圆角复杂。

由高等数学知道，若任一曲线的方程为y=f（x），则渐屈线就是其曲率中心的轨迹，其方程为

点（ξ，η）就是点（x，y）的曲率中心，曲线y=f（x）上每一点的法线，就是其渐屈线上相应点的切线。

由于切削过程本身就是啮合过程，每一瞬间切削点的法线必应通过啮合节点，则图3-16可以确定椭圆角切削的位置。图3-16中a为M点开始切削时椭圆刀刃的位置，b为a的渐屈线，则椭圆刀刃在M点的法线必须通过啮合节点P，而且切其渐屈线b于C点。当刀刃移到a′位置时，其渐屈线相应的移到b′。此时由P点作b′的切线，交a′于K点，则PK必然是a′的法线，而K点就是在a′位置时的切削点。随着刀刃左移，K点逐渐下移，PK线与横坐标的夹角ψ也逐渐变大，直到PK与纵坐标重合。

图3-16 确定椭圆角切削点的位置

现在可以确定切削点K的坐标(www.xing528.com)

PK的方程是

而

得 ξ+ηy′₁=-S

但根据式（3-29）、式（3-30）有

ξ+ηy′₁=x₁+y₁y′₁

得 x₁+y₁y′₁=-S （3-31）

将椭圆角方程（3-25）和法线方程（3-31）联立，给出不同的S值，就可以算出相应的切削点K的坐标。

至此，利用3.2.1节所述方法，就可以将整个斜齿轮端面齿廓计算出来。

（3）计算平行于端面的齿廓坐标图3-17a是一斜齿在XOY平面上的投影，图3-17b是其分度圆柱的展开图。设齿宽为b，则斜齿轮的前端面和后端面在XOY平面上的错开角θ为

按图3-17可由前端面齿廓求出后端面齿廓的坐标。设前端面齿廓上某一点e的坐标为（x_e，y_e）该点至原点的半径r_e，则后端面齿廓上相应e′的坐标为（图3_-18）

x_e′=r_esin（θ+γ）=y_esinθ+x_ecosθ （3-33）

y_e′=r_ecos（θ+γ）=y_ecosθ-x_esinθ （3-34）

图3-17 斜齿的投影及其分度圆柱展开图

a）斜齿在XOY平面内的投影 b）斜齿轮分度圆柱展开图

图3-18 确定端面齿廓坐标

b取以不同数值，则由式（3-32）、式（3-33）及式（3-34），可以求出不同截面上的齿廓坐标。