蒙特卡洛法：统计模拟在科技领域的应用

蒙特卡洛法在概率论中又称为统计模拟法或统计试验法,在科学技术领域中得到广泛应用。这种方法的基本思想是在需要得到某随机事件的概率时,可以通过某种随机抽样的试验来实现。当试验次数足够多时,就可以把试验得到的统计结果作为问题的近似解答。

对一个实际研究对象,往往有许多影响事件的随机因素,在计算中若对所有的随机因素都要一一加以考虑,则需要进行大量的抽样模拟试验,才能得到事件的概率分布。设一组随机变量x 1,x 2,…,x m的概率分布是已知的,要求模拟某随机事件,后者可用复杂的函数来表示

函数η的结构可能很复杂,以致无法给出。这时可采用统计模拟法求出其统计估计值。通过数字模拟,对x 1,x 2,…,x m进行n次随机抽样,产生n个η的抽样值η1,η2,…,ηm,经过统计处理,就可以得到随机事件η的概率分布或统计估计值,即得到问题的近似数值解。例如,一些实际问题中要求计算随机函数η的数学期望M(η)和标准差的统计估计值和ση,可以按下列公式计算

采用蒙特卡洛法进行概率统计分析往往需要做较大数量的模拟计算或模拟试验,若采用人工进行,一般工作量大得难以实现。只有当采用数字计算机以后,蒙特卡洛法才在实际科技中得到越来越广泛的应用。

一般运用蒙特卡洛法进行统计计算有以下三个基本过程:

(1)建立适当的概率模型。

(2)对不同分布的随机变量用数学方法进行随机抽样。

(3)根据抽样在数字计算机上进行大量的模拟计算或模拟试验,并对结果进行统计分析,给出问题的统计估计值。

下面结合计算电力系统操作过电压时开关操作的统计模拟,对以上三个基本过程作一简略介绍。

1.建立概率模型

在对一个实际科学技术问题进行数字模拟计算以前,必须先构造一个能正确地反映该问题又便于实现的概率模型。对概率模型,一方面要和实际问题在主要方面一致,要考虑对实际问题产生影响的各种随机因素;另外一方面也不能使计算模型过于复杂,以致难以在计算机上求解或计算费用太大。

以计算电力系统中开关合闸过电压为例,有许多因素影响过电压幅值的概率分布,如开关合闸相位的分散性,开关触头的预击穿,合闸时线路上是否存在残余电压,网络参数包括电源的开机容量、接入并联电抗器的容量等。严格地说,要得到某一网络合闸过电压的分布规律,就应该把所有这些影响因素都作为随机变量,并求出它们的分布规律,构造一个完整但非常复杂的概率模型,然后在这基础上进行随机抽样,用电磁暂态计算程序或TNA进行大量计算,最后求得过电压的概率分布数据。显然,这样的概率模型过于复杂,实现起来有一定困难,即使实现了,由于未研究的因素太多,结果也未必能正确反映实际情况。

因此,在实际建立概率模型时往往要突出问题的主要方面,把影响问题的一些主要因素作为计算的随机变量,而忽略一些次要因素,把另外一些因素在计算时看成固定不变,例如在计算合闸操作过电压的概率分布时常在特定的网络结构和参数的条件下进行,而只把开关合闸时间作为随机变量。有关开关三相非同期合闸的概率模型,可以用三相开关触头接触的平均时间T 0以及各相开关触头实际接触时间T对T 0的偏离ΔT来表示,可以有

式中:T 0、ΔT为服从某种概率分布的随机变量。(www.xing528.com)

因此共有四个随机变量构成三相开关合闸时间的概率模型。T 0只是三相开关某次合闸时触头接触的平均时间,一般T 0在整个工频周期内按均匀分布规律随机变化;ΔT在±ΔT m范围内按一定的分布规律随机变化,一般变化范围小于工频周期。

当开关合闸带有限制操作过电压的并联电阻时,若考虑到并联电阻接入时间的分散性,则开关主、辅触头接通时间将是由更多维数的随机变量所构成。

2.随机变量的抽样

用蒙特卡洛法进行概率计算时,要根据随机变量的分布规律进行随机抽样。这一点区别于某些统计计算中采用的系统抽样方法。后者把各随机变量在一定的范围内划分成许多区间,然后经过排列组合,进行系统抽样,构成整个事件的概率模型。

系统抽样法适用于随机变量比较少的统计计算。例如,在计算变电所雷电侵入波保护的事故概率时,若只考虑雷电流幅值和进线段雷击点两个随机变量,每个随机变量取10个区间值,采用系统抽样的方法,就有10×10=100个取值来构成概率模型。随着随机变量维数的增加,系统抽样方法所要求的计算工作量越来越大。例如,对合闸过电压的计算来说,有文献的作者采用系统抽样方法来模拟三相不同期合闸时间。若把时间离散成间隔为1ms,相当于工频电源相角18°,对每一区间交界处取一分点,应该说这样的取值是比较粗略的。假定三相开关合闸时间分散性范围为±ΔT m=±5ms,按式(5-10),对平均合闸时间T 0在工频一周期0°～360°内有20个取值(0°和360°相当于一个取值),而对ΔT,则每相都可以有11个取值,这样整个开关合闸相位模型的取值数共有20×11×11×11=26620个。这样大规模的模拟计算或模拟试验,不论采用EMTP或TNA,都是很难实现的。若开关带有并联电阻并考虑其接入时间的分散性,构成整个合闸相位模型的随机变量将增多,而总的取值数将增加得更多。从以上分析可以看到,采用系统抽样方法进行统计计算的随机变量越多,计算工作量越大。

采用蒙特卡洛法进行统计计算是对各随机变量按已知的分布规律进行随机抽样,组成概率模型。例如,对以上三相开关的不同期合闸时间,需要对T 0和各相的分散性ΔT四个随机变量在给定的范围内进行随机抽样,每次抽样由四个值组成为一组合闸时间的抽样序列,接着可以对每一个序列进行模拟计算或试验。统计计算表明,采用120次抽样序列计算所得到的2%统计过电压与360次抽样进行比较,相差不到1%,对工程计算已有足够的精度,从以上分析可以看到,蒙特卡洛法的重要特征是随机抽样,计算达到一定精度所要求抽样次数不直接和随机变量的数目有关。因此这种方法适用于随机变量较多的复杂问题的统计计算,这种情况下可以比系统抽样方法节省较多的时间。

3.操作过电压计算结果的统计分析

有了正确的概率模型及对随机变量进行抽样之后,就可以进行统计模拟计算或试验。例如,对电力系统合闸过电压的统计计算,在选择三相开关合闸时间的概率模型并对合闸时间的随机数序列抽样以后,就可以用EMTP、PSCAD/EMTDC或在TNA上根据这些抽样分别进行合闸过电压的计算,对模拟计算结果根据需要进行各种统计处理。若采用以过电压幅值为基础的绝缘配合,则可以根据计算结果求得样本中过电压幅值的均值、方差等统计特征数据,进行过电压分布规律检验和各相过电压之间的相关分析,并给出操作过电压幅值的统计估计值,一般操作过电压幅值的统计分析可以包括以下一些内容:

(1)为了正确地选取进行过电压统计分析的样本,需要对过电压进行各种相关分析。例如,研究开关三相不同期合闸时各相过电压之间的相关程度,以便确定在进行统计分析时应分别取各相的过电压幅值作为统计分析的样本,还是应该取每次操作时三相中最高过电压幅值作为统计样本。

(2)计算出样本中过电压幅值在不同区间上出现的频数,并画出直方图,以便直观地研究过电压幅值的分布情况。

(3)求出样本中过电压幅值的平均值和标准差等统计参数。

(4)对过电压服从某种分布的假定作拟合性检验,通过检验确定过电压幅值分布规律以后,就可以计算出2%统计过电压,作为采用简化统计法进行绝缘配合的依据。