系统误差及处理方法.变值系统误差的发现

1.系统误差及处理方法

在实际测量中，系统误差对测量结果的影响是不能忽视的。揭示系统误差出现的规律性，消除系统误差对测量结果的影响，是提高测量精度的有效措施。

（1）发现系统误差的方法 在测量过程中产生系统误差的因素是复杂多样的，查明所有的系统误差是很困难的事情，同时也不可能完全消除系统误差的影响。发现系统误差必须根据具体测量过程和测量器具进行全面而仔细的分析，但目前还没有能够找到可以发现各种系统误差的方法，下面只介绍适用于发现某些系统误差常用的两种方法：

1）实验对比法。实验对比法就是通过改变产生系统误差的测量条件，进行不同测量条件下的测量来发现系统误差。这种方法适用于发现定值系统误差。例如量块按标称尺寸使用时，在测量结果中，就存在着由于量块尺寸偏差而产生的大小和符号均不变的定值系统误差，重复测量也不能发现这一误差，只有用另一块更高等级的量块进行对比测量，才能发现它。

2）残差观察法。残差观察法是指根据测量列的各个残差大小和符号的变化规律，直接由残差数据或残差曲线图形来判断有无系统误差，这种方法主要适用于发现大小和符号按一定规律变化的变值系统误差。根据测量先后顺序，将测量列的残差作图（见图1-3），观察残差的规律。若残差大体上正、负相间，又没有显著变化，就认为不存在变值系统误差，如图1-3a所示；若残差按近似的线性规律递增或递减，就可判断存在着线性系统误差，如图1-3b所示；若残差的大小和符号有规律地周期变化，就可判断存在着周期性系统误差，如图1-3c所示。但是残差观察法在测量次数不是足够多时，也有一定的难度。

图1-3 变值系统误差的发现

a）不存在变值系统误差 b）存在线性系统误差 c）存在着周期性系统误差

（2）消除系统误差的方法

1）从产生误差根源上消除系统误差。这要求测量人员对测量过程中可能产生系统误差的各个环节进行分析，并在测量前就将系统误差从产生根源上加以消除。例如，为了防止测量过程中仪器示值零位的变动，测量开始和结束时都需检查示值零位。

2）用修正法消除系统误差。这种方法是预先将测量器具的系统误差检定或计算出来，作出误差表或误差曲线，然后取与误差数值相同而符号相反的值作为修正值，将测得值加上相应的修正值，即可使测量结果不包含系统误差。

3）用抵消法消除定值系统误差。这种方法要求在对称位置上分别测量一次，以使这两次测量中测得的数据出现的系统误差大小相等、符号相反，取这两次测量中数据的平均值作为测得值，即可消除定值系统误差。例如，在工具显微镜上测量螺纹螺距时，为了消除螺纹轴线与量仪工作台移动方向倾斜而引起的系统误差，可分别测取螺纹左、右牙面的螺距，然后取它们的平均值作为螺距测得值。

4）用半周期法消除周期性系统误差。对周期性系统误差，可以每相隔半个周期进行一次测量，以相邻两次测量的数据的平均值作为一个测得值，即可有效消除周期性系统误差。

消除和减小系统误差的关键是找出误差产生的根源和规律。实际上，系统误差不可能完全消除。一般来说，系统误差若能减小到使其影响相当于随机误差的程度，则可认为已被消除。

2.随机误差及处理方法

随机误差不可能被修正或消除，但可应用概率论与数理统计的方法估计出随机误差的大小和规律，并设法减小其影响。

（1）随机误差的特性及分布规律 通过对大量的测试实验数据进行统计后发现，随机误差通常服从正态分布规律，其正态分布曲线如图1-4所示（横坐标表示随机误差，纵坐标y表示随机误差的概率密度）。

正态分布的随机误差具有下面4个基本特性：

1）单峰性。绝对值越小的随机误差出现的概率越大，反之则越小。

2）对称性。绝对值相等的正、负随机误差出现的概率相等。

3）有界性。在一定测量条件下，随机误差的绝对值不超过一定界限。

图1-4 随机误差正态分布曲线

4）抵偿性。随着测量的次数增加，随机误差的算术平均值趋于零，即各次随机误差的代数和趋于零，这一特性是对称性的必然反映。

（2）随机误差的标准偏差σ概率密度y的大小与随机误差δ、标准偏差σ有关。当δ=0时，概率密度y最大，标准偏差σ越小，分布曲线就越陡，随机误差的分布就越集中，表示测量精度就越高。反之，标准偏差σ越大，分布曲线就越平坦，随机误差的分布就越分散，表示测量精度就越低。随机误差的标准偏差σ可用下式计算得到，即

式中 N——测量次数。(www.xing528.com)

标准偏差σ是反映测量列中测得值分散程度的一项指标，它表示的是测量列中单次测量值（任一测得值）的标准偏差。

（3）随机误差的处理步骤 由于被测几何量的真值未知，所以不能直接计算求得标准偏差σ的数值。在实际测量时，当测量次数N充分大时，随机误差的算术平均值趋于零，便可以用测量列中各个测得值的算术平均值代替真值，并估算出标准偏差，进而确定测量结果。

在假定测量列中不存在系统误差和粗大误差的前提下，可按下列步骤对随机误差进行处理：

1）计算测量列中各个测得值的算术平均值。设测量列的测得值为x₁、x₂、x₃、…、xN，则算术平均值为

即：将测得值相加再除以测得值的个数。

2）计算残余误差。残余误差是测得值与算术平均值之差，一个测量列就对应着一个残余误差列，即

3）计算标准偏差（即单次测量精度一）。常用下面的公式计算标准偏差，即

若需要，可以写出单次测量结果表达式为

x_ei=x_i±3σ （1-8）

4）计算测量列的算术平均值的标准偏差。若在一定测量条件下，对同一被测几何量进行多组测量（每组皆测N次），则对应每组N次测量都有一个算术平均值，各组的算术平均值不相同。不过，它们的分散程度要比单次测量值的分散程度小得多（见图1-5）。描述它们的分散程度同样可以用标准偏差作为评定指标。根据误差理论，测量列算术平均值的标准偏差与测量列单次测量值的标准偏差σ存在如下关系，即

图1-5 σ与的关系

显然，多次测量结果的精度比单次测量的精度高，即测量次数越多，测量精度就越高。但测量次数不是越多越好，一般取N＞10（15次左右）为宜。

5）计算测量列算术平均值的测量极限误差，即

6）写出多次测量所得结果的表达式x_e，即

3.粗大误差及处理方法

粗大误差的数值相当大，在测量中应尽可能避免。如果粗大误差已经产生，则应根据判断粗大误差的准则予以剔除，通常用拉依达准则（又称3σ准则）来判断。

当测量列服从正态分布时，残差落在±3σ外的概率很小，仅有0.27%，即在连续370次测量中只有一次测量的残差会超出±3σ，而实际上连续测量的次数不会超过370次，测量列中就不应该有超出±3σ的残差。因此，当出现绝对值大于3σ的残差，即|v_i|＞3σ时，则认为该残差对应的测得值含有粗大误差，应予以剔除。

拉依达准则不适用于测量次数小于或等于10的情况。