确定导向反作用力的方程优化

相对于曲轴轴线的所有力Xi的力矩为零，静力学只给出一个关系式，而未知反作用力的数量常常大于1。例如，在图90中，根据曲柄销数量，未知反作用力的数量为4。

在这个方案和其他类似方案的计算中，要分析系统的变形，确定缺少的反作用力之间的关系式。

下面给出方程组的一个推导，通过这些方程可以确定反作用力Xi=f（α），对于以下情况：

（1）带有2个和3个中央驱动曲柄的连续弹性曲轴；

（2）分体弹性曲轴；

（3）分体的刚性曲轴，

用于确定反作用力Xi的方案如图93所示。

图93　确定导向块反作用力的计算方案

基本符号如下：

曲柄销的编号对应于图90。曲柄销的编号数通常由i表示。

Pgi——第i个曲柄销上的燃气压力；

Pui——运动质量的惯性力；

Pi=Pgi+Pui——沿着气缸轴线作用在第i个曲柄销上的总力；

Xi——反作用力的方向，如果它们的方向与坐标轴的正方向一致，将认为它们是正的；

Zi——作用于曲柄方向的力，如果力压缩相应的曲柄，将假设这个力为正；

Z01，Z02——对三中央驱动曲柄的曲轴，力Zi在端点支撑轴承的反作用力；

Z0——力Zi在曲轴中间支撑的反作用力；

Ti——垂直作用于轴线ACB的力，如果这个力相对于点C产生一个逆时针方向的力矩，则定义它是正的；

T01，T02——三中央驱动曲柄曲轴上来自力Ti对端点支撑的反作用力；

T0——力Ti在曲轴中间支撑上产生的反作用力；

E——第一类弹性模量；

G——第二类弹性模量；

δi——在外力作用下，第i个曲柄销的径向变形量；

θi——在外力作用下第i个曲柄销的切向变形量，如果线性变形δi和θi的方向与力Zi和Ti的正方向一致，将被认为是正的。

图93中所示的力和应变是正的方向。

对于具有2个和3个中央驱动曲柄支撑的连续弹性曲轴，从力Pi和Xi相对于点C[图93（a）]的力矩等于零，有

剩余的3个确定反作用力的方程式必须从变形系统研究获得。

力Pi和Xi使曲轴变形，引起曲柄销的径向变形量δi和切向变形量θi。

在图93中，B表示变形曲柄销的中心位置，所有的位移都聚集在正向，而这个曲柄销原来在自己的方向与位置上。

将曲轴变成一个刚性整体，而不改变其弹性线，以便第一个曲柄销的中心位于轴线Oy上。Δφ1的值通过以下公式以足够的准确度进行实践确定：

曲轴应该拧转一个角度，使第三曲柄销的中心落在轴线Oy上：

旋转的角度Δφ1和Δφ3必须相等，否则结果是当第一曲柄销的中心位于轴线Oy上时，第三曲柄销的中心落在轴线Oy之外（在没有间隙的情况下，这是不可能的）。

第一个变形方程为：

如果角度Δφ2等于角度Δφ4，则第二和第四曲柄销的中心将同时落在轴线Ox上：

因此获得了第二个变形方程：

在第一和第三曲柄销的中心位于Oy轴上，第二和第四曲柄销的中心同时落在Ox轴上的条件下，可以得到系统的第三变形方程：

在解决方案中写出的四个等式（22）中，只有一个必须使用，因为如果其中一个满足，那么其他3个也满足。

例如，假设：

Δφ1+Δφ4=0

获得第三个变形方程[图93（b）]：

式（20）、式（21）和式（23）中的挠度δ1与θ1可以很容易地通过作用于曲柄销的径向力Zi和切向力Ti表示。(www.xing528.com)

在施加于第j曲柄销的单位力作用下，第i曲柄销的径向偏移量通过aij表示为：

δi=ai1Z1+ai2Z2+ai3Z3+ai4Z4

这里，i=1，2，3，4。

切向变形量θ1-θ3，θ2-θ4，θ1+θ4的差值和总和可以表示为切向力Ti的线性函数，即

在式（20）、式（21）和式（23）中代入值θi，θ1-θ3，θ2-θ4与θ1+θ4，获得：

力Zj和Tj的分量可以很容易地用力Pj和Xj来表示[图93（a）]：

代入消除方程组（24）中的力Zj和Tj，在变换后，获得4个方程，包括式（19），从中可以确定导向的反作用力：

这里：

方程组（26）对于双驱动曲柄曲轴和三驱动曲柄支撑曲轴都是有效的，因为中间驱动曲柄支撑只影响系数的数值。

驱动曲柄的反作用力组成部分很有趣：Ri指向于OC半径，Ki垂直于OC半径（图93）。

如果反作用力Ri指向中心O，假设其为正，而Ki指向曲柄OC的旋转方向，为正。

反作用力Ri和Ki由以下公式确定：

对于分体弹性曲轴，曲轴的前半部分未知反作用力X1和X2由以下方程组确定：

X1cosα-X2sinα=P1sinα+P2cosα；

δ1tanα+θ1+δ2arctanα+θ2=0

第一个方程是从相对于点C的力矩为零得到的（参见图93），第二个方程是从变形状态得到的。

通过分量ai，Zi和Ti表示挠度δ1，δ2和θ1，θ2：

δ1=a11Z1+a12Z2；

δ2=a21Z1+a22Z2；

θ1+θ2=b1T1

使用式（25），在转换之后可获得：

类似的公式对于曲轴的第二部分也是有效的。

式（29）中系数aij和bi的值与式（26）中的系数不同。

对于分段的刚性曲轴，只在曲轴有中间驱动曲柄支撑时才能找到导向反作用力。

在这种情况下，支撑的反作用力该垂直于径向OC（图93）。

因此，在OC的半径方向上的力X1，X2，P1和P2之合力的投影为零，

或

从所有力相对于点C的力矩为零有：

解式（30）和式（31），得到：

X1=P1sin2α-P2cos2α；

X2=P1cos2α+P2sin2α

X3和X4也可以类似地写成公式：

X3=P3sin2α-P4cos2α；

X4=P3cos2α+P4sin2α