模糊集合和隶属函数的介绍

时间：2023-06-27 理论教育版权反馈

【摘要】：设给定论域u，u到［0，1］闭区间的任一映射μA：u→［0，1］u→μA都确定u的一个模糊子集A，μA称为模糊子集的隶属函数，μA称Xi对于A的隶属度，也可记为A，Xi是u中一个取值元素，应注意μA和μA的区别。

模糊集合和隶属函数的介绍

传统的一般集合：A＝｛X₁，X₂，X₃，X₄，…｝或A＝｛X｜X是正整数离散值｝，X是构成集合的元素或子集。

设集合A由0～1之间的连续实数组成，即

A＝｛X，X∈R，0≤X≤1.0｝

上述的集合是不模糊的，对任意元素X只有两种可能，属于A和不属于A，这种特性可以用特征函数C_A（X）来描述，即

在模糊集合中，为了表示模糊概念，要应用隶属函数及隶属度的概念，隶属函

数相当于传统集合的特征函数，它的定义为

式中 μ_A（X）——模糊集合的隶属函数；

A——模糊集合，常表示为A＝（X，u）。

u为论域范围［0，1］，即控制过程参数变化的范围，模糊控制器输入量的实际范围称为基本论域。

设给定论域u，u到［0，1］闭区间的任一映射

μ_A：u→［0，1］

u→μ_A（X）

都确定u的一个模糊子集A，μ_A（X）称为模糊子集的隶属函数，μ_A（X_i）称X_i对于A的隶属度，也可记为A（X_i），X_i是u中一个取值元素，应注意μ_A（X）和μ_A（X_i）的区别。

模糊集合的表达方式：

1.当u为离散有限集｛χ₁，χ₂，…，χ_n｝时，

（1）Zadeh表示法

A＝μ_A（X₁）／X₁＋μ_A（X₂）／X₂＋…＋μ_A（X_n）／X_n （3-1）

式中，／表示对应关系；＋表示整体。

例：如A＝｛1、2、3、4、5、6、7、8、9、10｝表示为

A＝0／1＋0／2＋0.3／3＋0.7／4＋1／5＋1／6＋0.7／7＋0.3／8＋0／9＋0／10

A的0／X_j的元素称为台，其值为零，故上式可写为

A＝0.3／3＋0.7／4＋1／5＋1／6＋0.7／7＋0.3／8

（2）序偶表示法

将论域中的元素u_j与其隶属函数A（u）构成序偶来表示A，称为序偶表示法。

A＝｛（X₁，μ_A（X₁）），（（X₂，μ_A（X₂）），…，（X_n，μ_A（X_n））｝（3-2）

上例可表示为

A＝｛（1，0），（2，0），（3，0.3），（4，0.7），（5，1），（6，1），（7，0.7），（8，0.3），（9，0），（10，0）｝

也可除去为零的项

A＝｛（3，0.3），（4，0.7），（5，1），（6，1），（7，0.7），（8，0.3）｝

（3）向量表示法

A＝｛μ_A（X₁），μ_A（X₂），…，μ_A（X_n）｝（3-3）上例表示为(www.xing528.com)

A＝｛0，0，0.3，0.7，1，1，0.7，0.3，0，0｝

2.当U是有限连续域时，记为

∫不是表示积分，μ_A（X）／X是上下两者的关系。

隶属函数的值域为0～1闭区间连续取值，函数μ_A（X_i）越接近1，表示元素X_i属于模糊集合A的程度越大；反之，μ_A（X_i）越接近于0，表示元素X_i属于模糊集合A的程度越小。应注意的是，模糊集合和几率的值域均是［0，1］，但两者不可混淆。

“高”是一个模糊概念，“身高”是一个可以度量的客观物理精确量。两者之间有一个隶属度，例如：

μ（高）＝｛（150，0.0），（160，0.0），（165，0.25），

（170，0.5），（180，1.0），（200，1.0）｝

小括号中第一个数为身高，第二个数是隶属度。它表示150cm和160cm的人均不能称之为“高“（隶属度为0.0）；180cm，200cm绝对可以称之为“高”（隶属度为1.0）；而身高165cm和170cm的人属于“高”的程度，分别为0.25和0.5。此一概念可进一步用图3-2表述。横轴为身高（精确量），纵轴是各身高高度对此一模糊概念的“隶属度”，其值由0到1。据此，我们可以定义出“高”的“隶属函数”如图3-2所示，附有矮的隶属函数。

隶属函数可以看成是精确量和模糊量之间的一种转换关系。

如何决定隶属函数是一个重要的基本课题，常用方法有：①模糊统计法；②例证法；③专家经验法等。决定隶属函数与经验有关，一般做法为，首先确定一个适宜的最大的隶属函数点，然后向两侧延伸，要求是单调递减，不允许有波浪形。隶属函数要求是单峰馒头形，不能有两个最大值，即所谓凸模糊集合。模糊控制理论发展之初，大都采用吊钟形的隶属函数，但近几年为了简便，几乎都已改用三角形的隶属函数，这是由于三角形计算上比较简单，且在性能上与吊钟形几乎没有差别的缘故，常用的隶属函数还有梯形。图3-3为三角形、梯形隶属函数。图3-3a为三角形，图3-3b为梯形。