混沌的定义及特点解析

1.混沌的定义

由于混沌理论尚在发展深化之中，混沌的定义尚未有很权威的说法，也就是带有混沌性。下面介绍一些简明的定义：

定义1：

非线性确定性系统中，由于系统内部非线性相互作用而产生的一种非周期性的行为。例如，大气由热对流导致的湍流就是一种混沌现象。

应用学科：大气科学，动力气象学。

定义2：

对初始状态敏感，表现似周期、非周期和不可预报性的过程。

应用学科：地理学，数量地理学。

定义3：

在确定性的非线性动态系统中出现的貌似随机的、不能预测的运动。它对初始条件有极其强烈的敏感性。

应用学科：机械工程、振动与冲击、机械振动。

定义4：

对初始条件敏感的非线性确定性系统的动态，具有正的李雅普诺夫指数。

应用学科：生态学、数学生态学。

2.混沌的特征(www.xing528.com)

混沌研究是复杂性科学研究的组成部分，所以复杂性科学所具有的非线性、非均衡等特征，在混沌中也必然存在。如果一个接近实际而没有内在随机性的模型仍然具有貌似随机的行为，就可以称这个真实物理系统是混沌的。而对初始条件的敏感的依赖性也可作为一个混沌的定义。所以这里的关于混沌的特征，是混沌研究区别于其他复杂性研究之所在，是混沌研究的特色。混沌的特征主要有：

（1）混沌的运动限于有限区域且轨道永不重复

混沌理论揭示了有序与无序的统一、确定性与随机性的统一。从混沌的这个特征可以看出，混沌的运动在有序和无序之间进行，而这两者之间就是混沌的边界。

（2）敏感依赖于初始条件

经典牛顿学说表明，只要初始条件给定，系统中的要素也就确定了，于是人们就可以确定系统的发展。而混沌现象的出现告诉人们，事物发展的结果对初始条件具有极为敏感的依赖性，也就是初始条件的细微差别，将导致结果的截然不同。从这一特征可以看出，由于初始条件的敏感性，系统从长期来看，其行为很难预测。

（3）具有丰富的层次和自相似性的结构

一个层次的非决定性，可能存在着高一层次或深一层次的确定性。用这句话来理解混沌现象，特别是关于混沌有序与无序的统一、确定性与随机性统一，易于理解。因为混沌现象中隐藏着有序，不能仅从事物的某一个层次看事物，而要从无序中找出某种事物发展的规律。

（4）奇异吸引子

吸引子是系统被吸引并最终固定于某一状态的性态。通常的吸引子都有负的李雅普诺夫指数，唯独混沌吸引子具有正的李雅普诺夫指数。这是混沌的—个显著特征。混沌吸引子是区别于一般的吸引子，属于一种奇异吸引子。

因此，混沌系统具有三个关键要素：一是对初始条件的敏感依赖性；二是临界水平，这里是非线性事件的发生点；三是分形维，它表明有序和无序的统一，分形结构一般具有分数维。混沌系统经常是自反馈系统，出来的东西会回去经过变换再出来，循环往复，没完没了，任何初始值的微小差别都会按指数放大，因此导致系统内在地不可长期预测。

归纳起来，混沌的特性：非线性、复杂形态，循环对称，对初始状态具有高敏感性。图2-3为混沌的图像。

对非线性动力学系统、奇怪吸引子、李雅普诺夫指数、分岔、倍周期分岔等术语，下面有一节会注释。

图2-3 混沌的图像