混沌的产生：从Lorenz模型到倍周期分岔

混沌是怎样产生的，混沌理论认为混沌是非线性动力学系统在一定条件下所表现的一种运动形式，是确定性系统中出现的随机现象，因此非线性动力学系统是混沌产生的必要条件，此系统具有耗散结构。

一般认为，当非线性动力学系统具有下列数值特征时则发生了混沌：

1）系统的运动轨迹为奇怪吸引子现象；

2）系统运动的功率谱具有连续谱上叠加有尖峰的特点；

3）系统中至少有一个李雅普诺夫（Lyapunov）指数λ＞0，吸引子为正数。

关于上述非平衡系统进入混沌的道路，目前研究较为深入的有如下三种。

1.倍周期分岔进入混沌道路(www.xing528.com)

系统运动变化的周期行为是一种有序状态，在一定的条件下，参数的变化使系统轨道周期加倍分岔，系统就会逐步丧失周期行为而进入无序的混沌。

2.阵发混沌道路

阵发混沌是指系统从有序向混沌转化时，在非平衡、非线性条件下，当某些参数的变化达到某一临界阈值时，系统的时间行为忽而周期、忽而混沌，在两者之间振荡。有关参数继续变化时，整个系统会由阵发性混沌发展成为持续性混沌。阵发性混沌最早见之于Lorenz模型，它与倍周期分岔所产生的混沌是孪生现象，凡是观察到倍周期分岔的系统，原则上均可发现阵发混沌现象。

3.茹厄勒－塔肯思道路

当流体系统将发生混沌现象时，其显著的特点是系统同时存在着多种频率的振荡，因此由于系统某些参数的变化使得系统内有不同频率的振荡相互耦合时，系统就会产生一系列的耦合频率的运动而导致混沌。其过程为：随着参数的改变，系统可由不动点进入到极限环，又由极限环分岔为二维环面，继而再次分岔到三维环面而进入混沌。