心轴与转轴强度的计算方法

前面我们已经介绍了，心轴在工作过程中，只承受弯矩的作用，如果载荷过大，会发生弯曲变形；而转轴在工作的时候，既承受弯矩，同时也承受扭矩的作用。

一、弯曲变形的概念

弯曲是工程实际中的一种基本变形。如图5－40所示的火车车轮轴和图5－41所示的齿轮轴等的变形都是弯曲变形的实例。它们的共同受力特点是在通过构件轴线的平面内，受到力偶或垂直于轴线的外力作用。其变形特点是构件的轴线被弯成一条曲线，这种变形称弯曲变形。

图5－40　火车车轮轴

图5－41　齿轮轴

二、心轴的强度计算

1.心轴横截面上的内力——剪力和弯矩

心轴横截面上的内力仍可由截面法求出。设AB轴［图5－42（a）］的跨度为l，在C点处作用一集中力F，由静力平衡方程求出支座反力为

为了分析某一截面上的内力，用截面m-m将轴分为左、右两段，如图5－42（b）和图5－42（c）所示。由于整个轴是平衡的，它的任一部分也是平衡的，现取左段为研究对象，左段上的内力与外力应保持平衡。由于外力FA有使左段上移和顺时针转动的作用，因此截面m-m上必有垂直向下的内力FQ和逆时针转动的内力偶矩M与之平衡，如图5－42（b）所示。静力平衡方程

图5－42　心轴横截面上的内力

由上面分析可知，轴AB段发生弯曲变形时，横截面上的内力由两部分组成：作用线切于截面并通过截面形心的内力FQ和位于纵向对称面内的力偶M，它们分别称为剪力和弯矩。剪力FQ的单位是N，弯矩M的单位是N·m。

当然，也可取右段为研究对象来求m-m截面上的剪力和弯矩。它们与取左段为研究对象时求得的剪力和弯矩分别大小相等、方向（转向）相反，如图5－42（c）所示。

工程上，对于一般的轴（轴的跨度l与横截面直径d之比小于5的短轴除外），弯矩起着主要作用，而剪力则是次要因素，在强度计算中可以忽略。下面仅讨论有关弯矩的一些问题。

为了使取左段或取右段得到的同一截面两边的弯矩在正负符号上统一起来，根据轴的变形情况，对弯矩的符号作如下规定：截面处的弯曲变形凹面向上时，弯矩为正，如图5－43（a）所示；反之，若凹面向下，则弯矩为负，如图5－43（b）所示。

图5－43　轴弯曲时的弯矩符号

在具体计算时，弯矩的大小和正负号有以下规律：若取轴的左段为研究对象，横截面上弯矩的大小等于此截面左段轴上所有外力（包括力偶）对截面形心力矩的代数和，此合力矩为顺时针时，截面上的弯矩为正，反之为负；若取轴的右段为研究对象，横截面上弯矩的大小等于此截面右段轴上所有外力（包括力偶）对截面形心力矩的代数和，此合力矩为逆时针时，截面上的弯矩为正，反之为负。

在实际计算时，可以直接利用上述规律求出轴上任意截面的弯矩，而不必用假想截面将轴截开，再列平衡方程求解，这样就给计算带来了方便。

2.弯矩图

轴上任意截面的弯矩大小、方向随截面位置变化而变化，若取x表示截面的位置，则弯矩可以表示为x的函数，弯矩方程一般表达式为

作弯矩图的基本方法是：先建立弯矩方程，然后按方程描点作图。实际作弯矩图时可找出几个特殊点，再根据弯矩图的形状作出。下面举例说明作弯矩图的方法。

【例5－2】齿轮轴受集中力作用［图5－44（a）］，试作此轴的弯矩图。

解：（1）求支座反力。

如图5－44（a）所示，建立平衡方程为

（2）建立弯矩方程。

（3）作弯矩图。

由弯矩方程可知，弯矩均为x的一次函数，图5－44受集中力作用轴的弯矩图均为斜直线，如图5－44（c）所示。

【例5－3】齿轮轴C处受集中力偶M作用（图5－45），试作轴的弯矩图。

解：（1）求支座反力。

建立平衡方程为

（2）建立弯矩方程。

图5－44　受集中力作用轴的弯矩图

图5－45　受集中力偶作用的轴的弯矩图

图5－46　受均布载荷作用的轴的弯矩图

（3）作弯矩图。

AC段和BC段的弯矩图均为斜直线，C处的弯矩有突变，突变值等于该处的力偶矩的大小，如图5－45所示。

【例5－4】轴的自重为均布载荷［图5－46（a）］，载荷集度为q，轴长为l，试作轴的弯矩图。

解：（1）求支座反力。

取轴为研究对象，建立平衡方程得

（2）建立弯矩方程。

任意截面的位置用x表示，取截面左段为研究对象，其弯矩方程为

（3）作弯矩图。

弯矩是x的二次函数，说明弯矩是一抛物线，至少要确定三个点（本题确定五个点），用描点法作图。

将以上五点用光滑曲线连成弯矩图，如图5－46（c）所示。

由以上例题，可以总结出弯矩图与载荷之间的一些规律：

（1）集中力作用的轴段上，弯矩图为斜直线，在集中力作用处，弯矩图发生转折（例5－2）。

（2）在集中力偶作用处，其左右两段的弯矩图为斜直线，左右两截面的弯矩值发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小（例5－3）。

（3）均布载荷作用的轴段上，弯矩图为抛物线（例5－4）。

3.平面弯曲时轴横截面上的应力

平面弯曲时，轴横截面上的两种内力会引起两种不同的应力：剪力FQ引起弯曲切应力τ，弯矩M引起弯曲正应力σ。如前所述，对于一般的轴，弯曲正应力σ是影响其弯曲强度的主要因素，故这里只讨论弯曲正应力。

（1）弯曲正应力的分布规律。(www.xing528.com)

轴弯曲变形时，如果忽略剪力引起的剪切弯曲，轴横截面上只有弯矩而无剪力，则称为纯弯曲。

分析轴横截面上正应力分布规律的方法与扭转类似。如图5－47（a）所示，在一矩形截面构件的表面画上纵向线a-a、b-b和横向线m-m、n-n。在构件的两端作用一对位于纵向对称面内的力偶，构件会发生弯曲变形［图5－47（b）］，可以观察到如下现象：

①纵向线弯曲成弧线，靠近外凸一侧纵向线伸长了，靠近内凸一侧纵向线缩短了。

②横向线仍为直线，相对地转过一个微小角度，且和纵向线正交。

根据以上实验可以认为：当构件平面弯曲时，其横截面保持为平面，但产生了相对转动，构件一部分纵向纤维伸长，一部分纵向纤维缩短，由伸长区到缩短区必存在一层既不伸长也不缩短的纤维，称为中性层，如图5－47（c）所示。中性层与横截面的交线称为中性轴，如图5－47（c）所示。中性层是构件上伸长区和缩短区的分界面，伸长区截面上各点受拉应力，缩短区截面上各点受压应力。

根据变形分析可知，距中性层越远的纵向纤维伸长量（或缩短量）越大。由虎克定律可知，横截面上拉、压应力的变化规律与纵向纤维变形的变化规律相同，如图5－48所示。因此，横截面上距中性轴越远的点正应力越大，其大小与点到中性轴的距离成正比，正应力呈线性分布，离中性轴最远的点正应力最大；横截面上距中性轴距离相等的各点的正应力相同；中性轴上各点（y＝0处）正应力为零。

图5－47　轴的弯曲实验

图5－48　弯曲正应力分布图

（2）弯曲正应力的计算。

当轴横截面上的弯矩为M时，截面上距中性轴z的距离为y的点的正应力σ计算公式为

式中　σ——横截面上任意点处的正应力，MPa；

M——横截面上的弯矩，N·m；

IZ——横截面对中性轴z的惯性矩，mm4；

y——横截面上该点到中性轴的距离，mm。

当y＝ymax时，弯曲正应力达到最大值，为

式中　ymax——横截面上、下边缘距中性轴的最大距离。

IZ、WZ是只与横截面形状、尺寸有关的几何量，分别称为截面的轴惯性矩和抗弯截面模量。常用截面的IZ、WZ计算公式见表5－4。

表5－4　常用截面的IZ、WZ计算公式

4.弯曲强度计算

轴弯曲变形时，产生最大应力的截面为危险截面。轴的弯曲强度条件为：最大弯曲正应力不超过轴材料的许用应力，即

式中　M——危险截面上的弯矩，N·m；

WZ——危险截面的抗弯截面模量，mm3；

［σ］——轴材料的许用正应力，MPa。

式（5－22）可以解决三方面问题：强度校核、设计截面尺寸和计算许可载荷。