传动轴强度与刚度的计算方法

零件受到载荷后变形过大会发生破坏，丧失工作能力。构件抵抗破坏的能力称为构件的强度，抵抗变形的能力称为构件的刚度，维持原有形态平衡的能力称为稳定性。材料的这些能力决定了零件的承载能力。传动轴在工作过程中，如果载荷过大，将发生扭转变形。

一、扭转的概念

工程中许多零件承受扭转会发生变形，如图5－33（a）中的螺栓、图5－33（b）中的扳手杆及图5－33（c）中的传动轴。

图5－33　扭转变形零件

（a）螺栓；（b）扳手杆；（c）传动轴

图5－34　受力偶作用的轴

这些发生扭转变形的零件的受力特点是在垂直于杆件轴线的两个平行平面内分别作用一对大小相等、转向相反的外力偶，如图5－34所示。其变形特点是杆件的任意两截面绕轴线产生相对转动，但杆的轴线位置和形状保持不变，这种变形称为扭转变形。相对转动形成的角位移称为扭转角，用符号φ表示。

二、扭转时横截面上的扭矩和扭矩图

1.外力偶矩的计算

在工程实际中，不能直接知道外力偶矩的大小，而是给出轴所传递的功率P和轴的转速n，利用下列公式计算：

式中　M——作用在轴上的外力偶矩，N·m；

P——轴所传递的功率，kW；

n——轴的转速，r／min。

2.扭矩

如图5－35所示，轴在外力偶矩的作用下，横截面上会产生抵抗变形和破坏的内力，可用截面法求出内力。现用假想平面m-m将轴截开，取左段为研究对象，由平衡关系可知，横截面上的内力合成为内力偶矩，这个内力偶矩称为扭矩或转矩，用T表示。由平衡条件有

也可取右段为研究对象来求T。为了使取左段或右段所求得的扭矩在符号上一致，采用右手螺旋法则来规定扭矩的正负。如图5－36所示，以右手四指弯曲方向表示扭矩的转向，则拇指指向离开截面时扭矩为正，反之为负。

图5－35　扭矩

图5－36　右手螺旋法则

当轴上作用多个外力偶矩时，任一截面上的扭矩等于该截面左段（或右段）所有外力偶矩的代数和。

3.扭矩图

工程上，为了形象地表示各截面扭矩的大小和正负，以便分析危险截面，常需画出各截面扭矩随截面位置变化的分析图，称为扭矩图。其画法为：取平行于轴线的横坐标x表示各截面位置，垂直于轴线的纵坐标表示相应截面上的扭矩T，正扭矩画在x轴上方，负扭矩画在x轴下方。

【例5－1】某机器传动轴［图5－37（a）］的功率由A轮输入，由B、C轮输出，输入轮功率PA＝40kW，输出轮功率PB＝25kW，PC＝15kW，轴的转速n＝200r／min，求：①AB段和BC段各截面上的扭矩；②画出传动轴的扭矩图，并求出最大扭矩值Tmax；③如果将A轮和B轮的位置互换［图5－37（b）］，画出传动轴的扭矩图，求出最大扭矩值Tmax，并分析两种情况哪种载荷分布较为合理。

图5－37　传动轴及扭矩图

解：①计算外力偶矩。

各轮作用于轴上的外力偶矩分别为

②计算扭矩。

由图5－37（c）可知：

AB段各截面扭矩为

BC段各截面扭矩为

③画扭矩图，求最大扭矩Tmax。

扭矩图如图5－37（d）所示，由扭矩图可知，轴AB段各截面的扭矩最大，Tmax＝1910N·m。

将A轮和B轮的位置互换时的情况请读者自行分析。

三、扭转时横截面上的应力

为了研究应力，先看一下扭转实验的现象。如图5－38所示的圆轴，在其表面上画出圆周线和纵向线。在M的作用下，轴产生变形，可以观察到：

（1）纵向线仍近似地为直线，只是都倾斜了同一角度。

（2）圆周线均绕轴线转过一个角度，但圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离均无变化。

由此可见，圆轴扭转时没有发生纵向变形，所以横截面上没有正应力。由于相邻截面相对地转过一个角度，即各横截面之间发生了绕轴线的相对错动，因而横截面上有切应力，且与半径垂直，如图5－39所示。圆轴扭转时横截面上任意点处的切应力计算公式为

式中　τρ——横截面上任意点的切应力，MPa；

T——横截面上的扭矩，N·m；

ρ——截面任意点到圆心的距离，mm；

IP——截面的极惯性矩，mm4，与截面的形状和尺寸有关。

图5－38　圆轴扭转实验

图5－39　切应力的分布状态

由式（5－12）可见，截面上各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，并沿半径方向呈线性分布，轴圆周边缘的切应力最大。切应力分布规律如图5－39所示。(www.xing528.com)

当ρ＝R时，切应力值最大，即

式中　WP——圆轴的抗扭截面模量，mm3。

极惯性矩和抗扭截面模量的大小与截面的形状和尺寸有关。工程上常用的实心圆轴与空心圆轴的极惯性矩与抗扭截面模量按下式计算：

实心轴：

式中　d——轴的直径。

式中　D——空心轴的外径；

α——α＝d／D，d为空心轴的内径。

四、传动轴扭转时的强度计算

圆轴扭转时，为了保证轴能正常工作，应限制轴上危险截面的最大切应力不超过材料的许用切应力，即

式中　［τ］——材料的许用切应力，可在有关手册中查得。

式（5－14）称为圆轴扭转强度条件，应用此式可以进行传动轴强度校核、截面设计和确定许可载荷三方面问题的求解。

五、传动轴扭转时的刚度计算

圆轴扭转变形时，任意两横截面产生相对角位移，称为扭转角。扭转角过大，轴将产生过大的扭转变形，影响机器的精度和使用寿命。由图5－38所示的圆轴扭转变形可以看出，两横截面相距越远，它的扭转角就越大。因此，扭转角的大小与轴的长度L和扭矩T成正比，并计入比例常数G，得圆轴两端相对扭转角为

式中　φ——扭转角，rad；

G——材料的剪切模量，GPa。

由式（5－15）可以看出，当扭矩T和轴的长度L一定时，G越大，扭转角φ越小。GIP反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为轴的抗扭刚度。

机械中通常限制轴的单位长度扭转角θ，使θ不超过许用值［θ］。

式中　θ——单位长度扭转角，rad／m。

式（5－16）称为圆轴扭转时的刚度条件。

实际应用中，常用单位度／米（°／m）来衡量［θ］。由于1rad＝180°／π，故刚度条件可写为

式中，［θ］的值可查阅有关手册，或按下列范围选取：