力学基础知识：平衡条件、二力构件和力的平行四边形法则

一、力

1.力的概念

人们从生产劳动和日常生活中，形成了力的科学概念：力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的运动状态发生变化，同时使物体发生变形。因此，力不能脱离实际物体而存在。

实践表明，力对物体的效应决定于三个要素：力的大小、力的方向、力的作用点。三个要素中有任何一个改变时，力的作用效应也随之改变。

在国际单位制中，力的单位用牛顿或千牛顿，简写为牛（N）或千牛（kN）。

图5－15　力的表示法

力对物体的效应不仅决定于它的大小，而且还决定于它的方向，所以力是矢量。

力可用一有向线段来表示，如图5－15所示。线段的长度按一定的比例表示力的大小（图中力的大小为40N）；线段的方位和箭头的指向表示力的方向；线段的起点（或终点）表示力的作用点。过力的作用点沿力的方向引出的直线称为力的作用线。

力矢量通常用黑体字母或带箭头的字母来表示，其大小则用不带箭头的字母来表示。

2.平衡的概念

前面已经提到，在工程上物体相对于地球处于静止或作匀速直线运动的状态称为平衡。平衡只是物体机械运动的特殊形式。必须注意，运动是绝对的，而平衡、静止则是相对的。如果物体在力系作用下处于平衡状态，这种力系称为平衡力系。力系平衡所满足的条件称为平衡条件。

3.静力学公理

（1）二力平衡公理。

欲使受两力作用的刚体保持平衡，其必要和充分条件是：该两力大小相等、方向相反并作用于同一直线上（图5－16）。

图5－16　二力平衡公理

只受两力作用而处于平衡的构件称为二力构件，简称二力杆。二力杆的受力特点是：所受的两力必定沿作用点的连线。工程上常根据这一特点来确定二力构件所受力的方向。

（2）加减平衡力系公理。

力系：作用于物体上的一群力称为力系。

加减平衡力系公理：在作用于刚体上的任一力系中，加上或减去任一平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。应用二力平衡公理和加减平衡力系公理，可得如下的推论。

推论1：力的可传性原理

作用于刚体上的力可沿其作用线移至刚体上的任一点，而不改变此力对刚体的作用效应。

（3）力的平行四边形法则。

作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力也作用于同一点，其大小和方向由以该两力为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示［图5－17（a）］。图中F1，F2两力称为合力R的分力。

合力等于两分力的矢量和。可用矢量式表示为

应用上述几条静力学的基本公理和法则又可得如下的推论：

推论2：三力平衡汇交定理

刚体受互不平行的三个力作用而平衡时，这三个力的作用线必汇交于一点。

图5－17　力的平行四边形法则

（4）作用与反作用定理。

两物体间相互作用的力，总是大小相等、方向相反且沿同一作用线，并分别作用于两个物体上。

二、约束与约束反力

约束：约束是对物体运动的限制。

约束体：构成约束的周围物体。

约束反力：约束体作用于研究对象上的力，简称反力。

约束反力的方向总是与约束体所能限制的运动方向相反，这是确定约束反力方向的一个原则。

工程中常见的约束类型有以下几种。

1.柔性体约束（简称柔索）

由柔软的绳索、胶带、链条等构成的约束称为柔性体约束，由于柔性体约束只能限制研究对象沿着柔性体中心线拉直的方向运动，因此，柔性体给被约束物体的力的方向一定沿着柔性体，并且只能是拉力，常用字母T，S表示。

例如用铁链吊起一减速箱盖，如图5－18所示，G是箱盖的重力，根据柔性体反力的特点，可以确定铁链给铁环的力一定是拉力（T，TB，TC），铁链给箱盖的力也是拉力（SB，SC）。

图5－18　柔性体约束

2.光滑接触面（线）约束

物体与光滑支承面接触时（图5－19），由于不计摩擦，因而支承面并不能限制物体沿其切线方向移动，而仅能阻止物体沿接触面的法线方向向下运动。因此，光滑接触面给被约束物体的力，方向必沿接触面的公法线，并且只能是指向被约束物体，常用字母N表示。

圆柱形工件搁置于V形铁上所受到的约束（图5－20）、杆件搁置于凹槽中所受到的约束（图5－21），均属于此类约束。

图5－19　光滑接触面约束

图5－20　圆柱工件的受力

图5－21　杆件的受力

3.光滑圆柱铰链约束

工程上常用铰链将桥梁、起重机、起重臂等结构同支承面或机架等连接起来，这就构成了铰链支座。这类约束在工程上有下列几种主要形式。

（1）固定铰链支座。固定铰链支座由底座、被连接构件和销钉三个主要部分构成，如图5－22（a）所示。这种支座的连接情况是将销钉插入被连接构件和底座上相应的销孔内，再用螺钉将底座固定于其他基座或机架上，通常简化为图5－23（a）所示的形式。固定铰链支座约束反力的作用线必定通过销钉中心，但方向需要根据研究对象的受载情况来确定，如图5－22（c）所示，一般用两个相互垂直的分力表示，如图5－23（b）所示。

（2）中间铰链。用圆柱销钉将两个构件连接在一起而构成的销钉连接（图5－24），工程上称为中间铰链。两构件通过中间铰链而互为约束，其约束反力的分析与固定铰链支座相同。

图5－22　固定铰链支座的约束反力

（3）活动铰链支座。如果固定铰链支座中的底座不用螺钉而改用辊轴与支承面接触［图5－25（a）］，便形成了活动铰链支座。活动铰链支座常用图5－25（b）所示的简图表示。活动铰链支座约束反力的作用线必通过销钉的中心且垂直于支承面，并指向研究对象，如图5－25（c）所示。

图5－23　固定铰链支座的简图

图5－24　中间铰链

图5－25　活动铰链支座

4.固定端约束

物体的一部分固嵌于另一物体所构成的约束。

实例：房屋阳台［图5－26（a）］、车刀刀架［图5－26（b）］及卡盘上的工件［图5－26（c）］等。

图5－26　固定端约束实例

固定端约束的受力情况如图5－27（a）所示。特点：固定端约束限制物体在约束处沿任何方向的移动以及在约束处的转动。

方向：一个约束力FN和一个约束力偶MA，如图5－27（b）所示。由于FN的方向往往不定，故常用两个正交分力FAx、FAy表示，如图5－27（c）所示。FN限制物体的移动，力偶MA限制物体的转动。

图5－27　固定端约束

三、平面力系的平衡

（一）平面汇交力系

1.平面汇交力系(www.xing528.com)

各力的作用线在同一平面内并且相交于一点的力系，称为平面汇交力系。起重机匀速起吊钢管时的受力情况如图5－28（a）所示。当以钢管为研究对象分析其受力时，其上除作用有重力G以外，还受到两端绳索的拉力T1与T2的作用，如图5－28（b）所示。这三个力的作用线位于同一平面内，且汇交于A点。

2.平面汇交力系的平衡

（1）力的投影。

设力F如图5－29所示，在力F的作用平面内选取直角坐标系Oxy。过力F的起点A与终点B分别向x、y轴作垂线，得垂足a1、b1和a2、b2，则线段a1b1称为力F在x轴上的投影，用Fx表示；线段a2b2称为力F在y轴上的投影，以Fy表示。

图5－28　起重机匀速起吊钢管时的受力分析

图5－29　力在坐标轴上的投影

力在坐标轴上的投影是代数量，其正负号规定如下：当力F的投影指向（即从a1到b1或从a2到b2的指向）与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，反之为负值。

设力F与x轴所夹的锐角为α，则力的投影一般可写为

当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零；当力与坐标轴平行时，其投影的绝对值就等于力的大小。

（2）合力投影定理。

设一平面汇交力系F1，F2，…，Fn，其合力为R，则有即平面汇交力系的合力在任一坐标轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。

（3）平面汇交力系的平衡。

平面汇交力系平衡的必要与充分条件是合力等于零，即

欲使上式成立，必须同时满足

由此可得平面汇交力系平衡的条件是：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别都等于零。式（5－4）称为平面汇交力系的平衡方程。

式（5－4）含两个独立的平衡方程，因而一个刚体受平面汇交力系作用而处于平衡时，可求解两个未知量。

（二）平面力偶系

图5－30　力对点之矩

1.力对点之矩

在生产实践中，我们察觉到用扳手拧紧螺母时（图5－30），其拧紧的程度不仅与F的大小有关，而且还与螺母中心O到力F作用线间的垂直距离d有关。显然，力F的值越大，螺母拧得越紧；距离d增大时，螺母也将拧得越紧。此外，如果力F的作用方向与图5－30所示的方向相反，则扳手将使螺母松开。因此，工程中以乘积F·d并加以适当的正负号作为力F使物体绕O点转动效应的度量，称为力F对O点之矩，简称力矩。以符号MO（F）表示，即

式中，O点称为力矩中心，简称矩心。O点到力F作用线间的垂直距离d称为力臂。通常规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩为正；反之为负。其单位为牛顿·米（N·m）。

2.合力矩定理

平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的代数和，用数学式表示为

3.力偶与力偶矩

我们将大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系视为一个基本力学量，称为力偶，以符号（F，F′）表示，如图5－31和图5－32所示。力偶中两力所在的平面称为力偶作用面，两力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂。工程中以乘积F·d并加以适当的正、负号作为力偶对物体转动效应的度量，并称为力偶矩，以符号m表示，即

式（5－7）中的正、负号表示力偶的旋转方向。通常规定：力偶使物体做逆时针方向转动时，力偶矩为正；反之为负。力偶矩的单位与力矩单位相同。

图5－31　转向盘

图5－32　攻螺纹时作用于丝锥手柄上的两个力

4.平面力偶系

（1）平面力偶系的合成。

对于由更多个力偶组成的平面力偶系，仍可用同样的方法进行合成。因此可得如下结论：平面力偶系合成的结果为一合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。用数学式表示为

（2）平面力偶系的平衡。

平面力偶系合成的结果为一合力偶，显然，若要力偶系平衡，必须并且只需合力偶矩等于零，即M＝0。用数学式表示为

（三）平面一般力系

前面我们讨论了平面汇交力系和平面力偶系，而平面汇交力系和平面力偶系则是平面一般力系的两个特例。所以平面一般力系才是在工程上最常见的普通力系。

平面一般力系平衡的必要和充分条件是：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有各力对其作用面内任一点力矩的代数和为零，即