谐波平衡法：简便高效的近似解析方法

在各种近似解析方法中，谐波平衡法是概念最明了，使用最简便的近似方法，而且应用范围不仅限于弱非线性系统。其基本思想是将振动系统的激励项和方程的解都展成傅立叶级数。从物理意义考虑，为保证系统的作用力与惯性力的各阶谐波分量自相平衡，必须令动力学方程两端的同阶谐波的系数相等，从而得到包含未知系数的一系列代数方程，以确定待定的傅立叶级数的系数。

设非线性系统的振动方程为

将方程式（6-80）的解和函数展开成傅立叶级数

其中

由式（6-83）求出系数后，将式（6-81）和式（6-82）代入方程式（6-80），按同阶次谐波进行整理后，令sin nωt和cos nωt的系数等于零，得到关于a0，an，bn的代数方程组，求出a0，an，bn以后，就得到了方程式（6-80）的解式（6-81）。

以前的各种摄动法都是把解按量级x1，x2，…展开的，而谐波平衡法是按谐波展开的，因此解的精度取决于谐波的数目，数目越多，精度越高，但计算越麻烦。因此，要想得到足够精度的近似解，就必须选足够多的项，或者预先知道解中所包含的谐波成分，并检查被忽略的谐波系数的量级，否则达不到需求的精度。

【例9】用谐波平衡法求方程的近似解。

【解】设解为(www.xing528.com)

将上式代入方程，按同次谐波整理得

令各谐波系数等于零得

令，为一阶谐波幅值，由初始条件确定。a0，ω为未知量，由式（6-86）求出。

设振幅很小，即C1＜1，取量级，由式（6-86）量级分析后得

由原方程得知，则

本例式（6-85）和式（6-87）结果的获得过程比较复杂，可以借助数学工具，如mathematica软件。