基本摄动法：求解弱非线性系统的渐进解

如果系统运动方程的非线性项是微小量，则属于拟（弱）线性系统（Quasi-linear System），相应的微小项称为摄动项（Perturbation），摄动项一般用小参数ε 标出，非线性振动系统的运动方程表示为

式中：是的非线性解析函数，ε是小参数。这种带有ε的摄动项，可以被看成是对系统周期运动的一种摄动。把解按小参数ε的幂次展开，寻求满足一定误差要求的渐近解，这类方法称为摄动法（Perturbation Method），也称小参数法（Small Parameter Method）。

当ε=0时，方程式（6-29）退化为固有频率为ω0的线性方程

即原系统式（6-29）的派生系统。设x0（t）为派生系统的周期解，当实验观测到原系统也存在周期解时，可以在派生解的基础上加以修正，构成原系统的周期解x（t，ε）。将其展开成ε的幂级数

将式（6-31）代入方程式（6-29）的两边，并将进行级数展开，得到

此方程对ε的任意值均成立，因此两边ε的同次幂的系数相等，由此导出各阶近似解的线性微分方程组(www.xing528.com)

由以上方程组的第一式解出派生系统的解，依次代入下一式求出各阶近似解，代入式（6-31）后即得到原系统的解。这种将弱非线性系统的解按小参数ε的幂次展开，以求渐进解的方法称为基本摄动法。由于计算工作量随着幂次的增高而迅速增加，因此往往只取级数的前几项，于是级数的收敛性显得并不重要，只需用截去的高阶项的ε 幂次估计解的误差。近似解的正确性最终只能由实验观测来检验。

【例5】用基本摄动法求达芬（Duffing）方程x¨+x=-εx3的解。已知初始位移为a0，初始速度为零。

【解】利用方程式（6-33）得

将初始条件代入各个方程得到系统精确到O（ε）的渐进解

分析这一渐进解不难发现x1中包含随时间t 增加的项t sin t，称为永年项或久期项（Secular Terms）。