非线性振动系统的分类及研究方法

非线性系统除按其自由度数可分为单自由度系统、多自由度系统、连续系统之外，还可以按振动微分方程中是否含时间t分为自治系统（Autonomous System），即微分方程中不显含t，及非自治系统（Non-autonomous System），即微分方程中显含t。

自治系统中，若微分方程存在能量积分，则称为保守系统（Conservative System），否则称为非保守系统（Non-conservative System）。非线性非保守系统又有耗散系统（Dissipative System）和自振系统（Self-exciting或Self-sustaining System）。若系统的能量在系统运动时总是减少的，则称为耗散系统。尽管有阻尼存在，系统仍可建立起振幅与初始条件无关而仅决定于系统性质不衰减的振荡，则系统称为自振系统。自振系统还可分为连续的和不连续的（即张弛振动）。

研究非线性振动问题的方法，除进行实验研究外，在理论研究方面，只有为数很少的非线性微分方程可求出精确解，一般情况下只能用近似方法求解。理论研究方法包括定性方法（Qualitative Method）及定量方法（Quantitative Method）。

非线性振动的定性分析方法即几何方法，是由运动微分方程出发，直接研究解的性质以判断运动形态的方法。定性分析方法主要用于研究振动系统可能发生的稳态运动，如平衡状态或周期运动，以及稳态运动在初始扰动作用下的稳定性问题。在工程问题中，稳态运动往往对应于机械系统的正常工作状态。这种工作状态必须是稳定的，因为只有稳定的运动才是可实现的运动。李亚普诺夫稳定性理论（Lyapunov Stability Theory）是研究稳定性的理论基础。相平面法（Phase Plane Representation）是最直观的定性分析方法，它只适用于单自由度系统。相平面法利用相轨迹描绘系统的运动性态，相轨迹的奇点和极限分别对应于系统的平衡状态和周期运动，分析奇点和极限环的类型可以判断平衡状态和周期运动的稳定性，以及受扰动后可能具有的振动特性。平衡状态或周期运动的数目和稳定性可随系统参数的变动而突然变化，称为分岔现象（Bifurcation Phenomenon）。(www.xing528.com)

定量方法有解析方法和数值解法。现有的解析方法较多，主要有摄动法（Perturbation Method）也称小参数法、渐进法（Asymptotic Method）、谐波平衡法（Method of Harmonic Balance）以及较便于处理阻尼系统的多重尺度法（Method of Multiple Scales）、频闪法（Stroboscopic Method）等；数值解法有迭代法、有限元法等。

非线性振动的内容是相当丰富的，本章仅作为学习非线性振动的入门知识和基础，主要介绍非线性振动的基本概念、定性分析的几何方法（相平面法）和近似解法，其他更深入的内容，读者可参阅相关文献。