子空间迭代法：结合矩阵迭代和李兹法求解复杂系统固有频率及主振型

矩阵迭代法每次限于一个假设振型矢量参与迭代，如果要求n 自由度系统的前s阶固有频率和主振型，就得按这个顺序分别迭代求解。而李兹法求解多自由度系统的部分特征值时，把原来的一个高阶特征值问题转化为低阶特征值问题，但由于此法需假设振型，故计算结果依赖于假设振型的精确程度。因此矩阵迭代法与李兹法都存在各自的优缺点。

将矩阵迭代法与李兹法的优点结合起来，即用李兹法来缩减自由度且使假设振型正交化，又在计算过程中采用矩阵迭代法使假设振型逐渐趋近精确值，这种新的计算方法称为子空间迭代法，它对求解自由度数较大的系统较低的前若干阶固有频率及主振型非常有效。

根据李兹法，计算前p 阶固有频率和主振型，可假设s个振型，且s＞p，得到假设振型矩阵作为初始迭代矩阵，即

为了提高李兹法求得的频率和振型的精确度，利用动力矩阵对A0进行迭代，并对各列阵分别归一化后得到

通过上述迭代，ψI 比A0含有较强的低价振型成分，缩小高阶成分。但是如果继续ψI 迭代，所得各阶振型都将趋于第一阶主振型A（1）。为了避免这种情况出现，需要在迭代过程中进行振型的正交化。此时可以利用李兹法进行处理，用ψI 作为假设振型，即设

其中，aI为s阶待定系数方阵，于是得到广义质量矩阵和广义刚度矩阵为(www.xing528.com)

李兹法特征值问题为

求解上述方程得到s个特征值和相应的特征矢量aI，从而由式（5-73）求出AI。然后以求出的AI作为新的假设振型进行迭代，可求得

再由

的李兹法特征值问题，求出s个特征值和相应的特征矢量a，进而求出A。不断重复矩阵迭代法和李兹法的过程，得到满足精度要求的振型和固有频率。

子空间迭代法迭代过程中算出的固有频率都由上限一侧向精确值收敛，越是低阶的固有频率和主振型，收敛得越快，通常最低的几阶固有频率和主振型，只需2～3次迭代，就可以得到较满意的精度。随着迭代次数的增加，越来越多的低阶固有频率和主振型稳定下来。通常情况下，若要求系统前s阶固有频率及主振型，则假设振型的个数一般应取2s及（s+8）中较小的一个。