深入了解高阶频率和振型

从上面的讨论中可看到，如果在初始假设振型中不包含最低阶主振型，即有c1=0，那么迭代结果将收敛于｛φ｝2。但是不论c1多么小，只要它不等于零，那么迭代结果仍将收敛于｛φ｝1。一旦求得｛φ｝1以后，我们就有可能利用主振型的正交性来清除掉假设振型中的｛φ｝1分量，然后再用来迭代求解｛φ｝2。不仅如此，如果在初始假设振型中清除掉所有前r阶主振型分量，那么迭代结果将得出第r+1阶固有频率与主振型。

事实上，根据第3章主振型的正交性得出的式，可写出前面的组合系数为

式中：Mi为第i阶主质量。这样，要在初始假设振型中清除掉所有前r 阶主振型分量，只需取

引入r阶清型矩阵［Q］r

因此，任意一个初始假设振型前乘以r阶清型矩阵后，就从该假设振型中清除掉了前r阶主振型分量。从［Q］r｛u｝0出发进行迭代，结果将收敛于第r+1阶主振型｛φ｝r+1。

必须注意的是，在实际计算中不可避免地存在舍入误差，即使从［Q］r｛u｝0出发进行迭代，得到的｛u｝1中仍可能包含前r阶主振型分量。因此，为防止因计算数字精度不够致使残余的前r阶主振型分量成分逐渐扩大，我们可改变系统矩阵而不改变初始迭代振型矢量。因为

引入清型后的各阶系统矩阵，有

则对于任意的初始假设振型｛u｝0，如果用系统矩阵进行迭代，结果将收敛于第r+1阶主振型｛φ｝r+1。并且从式（5-66）还可看到，对各阶清型后的系统矩阵，存在如下的递推公式，即

这将给编写程序带来很大方便。

下面对矩阵迭代法进行归纳和补充。(www.xing528.com)

（1）从理论上讲，矩阵迭代法的迭代次数越多越精确，且只要循环到一定的程度，即可获得主振型和固有频率的较精确的值。如果初始迭代矢量｛u｝0选择恰当，比较接近于所求主振型的形态，则迭代次数可以减少。一般地，求第一阶主振型时可选“静变形曲线”为初始迭代矢量；求高阶主振型时可利用主振型的正交性特点，来选择较合适的初始迭代矢量；有些多自由度系统具有对称性，可利用主振型的对称和反对称特点来选择初始迭代矢量。

（2）矩阵迭代法在求任意指定的高阶振型之前，必须先计算所有较低阶的主振型，而且要从第一、第二……依次往下计算，其原因是计算清型后的系统迭代矩阵必须依次进行。高阶振型的精度直接与所有较低的振型精度有关，因此必须用很高的精度计算较低阶的振型，才能保证高阶振型有一定的精度。

（3）如果系统的固有频率中有几个相等，则仍可用上述矩阵迭代法依次求出这几个相等的固有频率，及对应的几个彼此正交的主振型（用第3章主振型的正交性中介绍的寻找方法）。正如第3章中指出的那样，这种正交的主振型组并不是唯一的，选用不同的初始迭代振型，会求得形式不同的正交的主振型组。而系统没有重根频率时，选用不同的初始迭代振型，会得到相同的正交主振型组。

（4）对具有刚体振型的半正定系统，由于刚度矩阵奇异，柔度矩阵无意义，不能直接运用前述的矩阵迭代法，但经过特殊处理之后，还是可用矩阵迭代法来求非刚体主振型。第一方法是事先消去系统做刚体运动的自由度，即采用缩减系统坐标的方法（如第3章主振型的正交性中所述）；另一种比较方便的方法称为“移频法”，即将半正定系统求固有频率和主振型的方程［K］｛φ｝=ω2［M］｛φ｝改写为

式中：α为任意的正数。

由于质量矩阵［M］是正定的，故［K］+α［M］也一定是正定的，存在逆矩阵

得到“柔度”矩阵［F］之后，即可用矩阵迭代法进行计算，其中初始系统矩阵为［F］［M］，且

矩阵迭代法得到的各阶主振型就是原系统的各阶主振型，而原系统的各阶固有频率则为